已知橢圓數(shù)學(xué)公式的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)P(5,0)的直線l與橢圓C交于Q、R,且數(shù)學(xué)公式
(1)若數(shù)學(xué)公式,求直線l的方程;
(2)試用λ表示Q點(diǎn)的橫坐標(biāo),并求出λ的最大值;
(3)若點(diǎn)S是點(diǎn)R關(guān)于x軸的對稱點(diǎn),求證:數(shù)學(xué)公式

(1)解:設(shè)R(x1,y1),Q(x2,y2),則
,∴(x1-5,y1)=(x2-5,y2
∴x1=x2-,y1=y2,

,
∵P(5,0),∴直線l的斜率為±
∴直線l的方程為y=±(x-5);
(2)解:∵,∴(x1-5,y1)=λ(x2-5,y2
∴x1=λx2-5λ+5,y1=λy2,
,

當(dāng)且僅當(dāng)P,Q,R在長軸上時,λ最大,此時,
∴λ=
(3)證明:由(2)知,S(x1,-y1),F(xiàn)(1,0)
=(1-x1,y1),=(x2-1,y2),
∵x1=λx2-5λ+5,y1=λy2

分析:(1)設(shè)R(x1,y1),Q(x2,y2),利用,可得坐標(biāo)之間的關(guān)系,再利用點(diǎn)在橢圓上,求得點(diǎn)的坐標(biāo),即可求得直線l的方程;
(2)利用,可得坐標(biāo)之間的關(guān)系,再利用點(diǎn)在橢圓上,求得點(diǎn)的坐標(biāo),當(dāng)且僅當(dāng)P,Q,R在長軸上時,λ最大;
(3)由(2)知,S(x1,-y1),F(xiàn)(1,0),用坐標(biāo)表示向量,即可證得結(jié)論.
點(diǎn)評:本題考查直線與圓錐曲線的綜合,考查向量知識的運(yùn)用,解題的關(guān)鍵是確定坐標(biāo)之間的關(guān)系.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線為l,A、B是橢圓上兩點(diǎn),且|AF|:|BF|=3:2,直線AB與l交于點(diǎn)C,則B分有向線段
AC
所成的比為( 。
A、
1
2
B、2
C、
2
3
D、
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(08年黃岡中學(xué)二模理)如圖,已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,過F的直線(非x軸)交橢圓于M、N兩點(diǎn),右準(zhǔn)線x軸于點(diǎn)K,左頂點(diǎn)為A.

(1)求證:KF平分∠MKN

(2)直線AM、AN分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)P、Q,設(shè)直線MN的傾斜角為,試用表示線段PQ的長度|PQ|,并求|PQ|的最小值.

 

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(14分)已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,P為C上任一點(diǎn),MN是圓的一條直徑,若與AF平行且在y軸上的截距為的直線恰好與圓相切。

  (1)已知橢圓的離心率;

  (2)若的最大值為49,求橢圓C的方程。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(重慶卷)數(shù)學(xué)理工類模擬試卷(三) 題型:解答題

如圖,已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,過F的直線(非x軸)交橢圓于M、N兩點(diǎn),右準(zhǔn)線x軸于點(diǎn)K,左頂點(diǎn)為A

    (Ⅰ)求證:KF平分∠MKN;

   (Ⅱ)直線AM、AN分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)P、Q,

設(shè)直線MN的傾斜角為,試用表示

線段PQ的長度|PQ|,并求|PQ|的最小值.

 

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(本小題滿分14分)已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,P為C上任一點(diǎn),MN是圓的一條直徑,若與AF平行且在y軸上的截距為的直線恰好與圓相切.

  (Ⅰ)求橢圓的離心率;

  (Ⅱ)若的最大值為49,求橢圓C的方程.

 

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