Question

已知在公比為實數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₃=4，且a₄，a₅+4，a₆成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求

2an+1

Sn

的最大值．

Answer 1

分析：（I）先由等比數(shù)列的通項公式把已知條件表示為2（4q²+4）=4q+4q³，解方程可求q，通項公式a_n
（II）利用等比數(shù)列的前n項和公式可求s_n，代入整理可得，

2an+1

sn

=1+

2

2n-1

，從而可求最大值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q（q∈R），依題意可得2（a₅+4）=a₄+a₆，（2分）
即2（4q²+4）=4q+4q³，整理得，（q²+1）（q-2）=0（4分）
∵q∈R，∴q=2，a₁=1．∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2^n-1（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2^n-1，∴S_n=2ⁿ-1∴

2an+1

Sn

=

2n+1

2n-1

=1+

2

2n-1

（10分）
∵n≥1，∴2ⁿ-1≥1，∴1+

2

2n-1

≤3，
∴當(dāng)n=1時，

2an+1

Sn

有最大值3．（12分）

點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的前n項和公式，及利用數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最值，屬于基本知識的綜合運(yùn)用，屬于中檔試題．