Question

下面有五個命題：
①函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π．
②終邊在y軸上的角的集合是{a|a=

kπ

2

，k∈Z|．
③在同一坐標系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個公共點．
④把函數(shù)y=3sin(2x+

π

3

)的圖象向右平移

π

6

得到y(tǒng)=3sin2x的圖象
⑤函數(shù)y=sin(x-

π

2

)在（0，π）上是減函數(shù)
其中真命題的序號是

 

（（寫出所有真命題的編號））

Answer 1

分析：①函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x=-cos2x，可求其最小正周期是π；
②終邊在y軸上的角的集合是{a|a=kπ+

π

2

，k∈Z}；
③構(gòu)造函數(shù)g（x）=x-sinx可以利用導(dǎo)數(shù)法導(dǎo)數(shù)法判斷；
④準確把握三角函數(shù)的圖象平移即可判斷；
⑤可以將y=sin(x-

π

2

)轉(zhuǎn)化為y=-cosx即可迅速作出判斷．

解答：解：∵函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x=-cos2x，最小正周期是T=π，故①正確；
終邊在y軸上的角的集合是{a|a=kπ+

π

2

，k∈Z}；故②不正確；
由

y=sinx y=x

得sinx=x，令g（x）=x-sinx，g′（x）=1-cosx≥0，故g（x）=x-sinx在R上單調(diào)遞增，當x=0時g′（0）=0，
∴g（x）_min=g（0）=0，即在同一坐標系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有一個公共點，故③不正確，
函數(shù)y=3sin(2x+

π

3

)的圖象向右平移

π

6

得到y=3sin[2(x-

π

6

)+

π

3

]=3sin2x，故④正確；
∵y=sin(x-

π

2

)=-cosx在（0，π）上是增函數(shù)，故⑤不正確．
故答案為：①④．

點評：本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，難點在于對③的判斷，可以通過導(dǎo)數(shù)法解決，該題綜合性強，屬于難題．