Question

已知函數(shù)f（x）=-4cos²x+4cosx+1-a，若關(guān)于x的方程在區(qū)間[-

π

4

，

2π

3

]上有解，則a的取值范圍是（　�。�

• A、[-8，0]
• B、[-3，5]
• C、[-4，5]
• D、[-3，2

  2

  -1]

Answer 1

分析：令cosx=t，-1≤t≤1，則 函數(shù)f（x）=-4t²+4t+1-a=0，由-

π

4

≤x≤

2π

3

，得-

1

2

≤t≤1，即求函數(shù)a=-4t²+4t+1，在[-

1

2

，1]上的值域，根據(jù)函數(shù) a=-4t²+4t-3的性質(zhì)求出a的取值范圍．

解答：解：令cosx=t，則函數(shù)f（x）=-4cos²x+4cosx+1-a=-4t²+4t+1-a．
∵-

π

4

≤x≤

2π

3

，∴-

1

2

≤cosx≤1，即-

1

2

≤t≤1．
故方程-4t²+4t+1-a=0 在[-

1

2

，1]上有解．
即求函數(shù)a=-4t²+4t+1  在[-

1

2

，1]上的值域．
又函數(shù)a=-4t²+4t+1 在[-

1

2

，

1

2

]上是單調(diào)增函數(shù)，在[

1

2

，1]上是單調(diào)減函數(shù)，
∴t=

1

2

時(shí)，a 有最大值等于2，t=-

1

2

時(shí)，a 有最小值等于-2，故-2≤a≤2，
故選 C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù) a=4t²+4t-3  在[-

1

2

，1]上的值域，是解題的關(guān)鍵．