Question

寫出函數(shù)f(x)=-log

1

2

2x+2log

1

2

x+8的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：將原函數(shù)f(x)=-log

1

2

2x+2log

1

2

x+8是函數(shù)：y=-μ²+2μ+8，μ=log

1

2

x的復(fù)合函數(shù)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性來研究即可．注意對(duì)數(shù)的真數(shù)必須大于0．

解答：解：設(shè)μ=log

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2

x，x＞0．
則原函數(shù)f(x)=-log

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2

2x+2log

1

2

x+8是函數(shù)y=-μ²+2μ+8，μ=log

1

2

x的復(fù)合函數(shù)，
因μ=log

1

2

x在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∵函數(shù)y=-μ²+2μ+8的單調(diào)增區(qū)間（-∞，1]，單調(diào)減區(qū)間[1，+∞），
∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，得
①函數(shù)f(x)=-log

1

2

2x+2log

1

2

x+8的單調(diào)減區(qū)間是函數(shù)y=-μ²+2μ+8的單調(diào)增區(qū)間，
由μ≤1得：log

1

2

x≤1，⇒x≥

1

2

；
②函數(shù)f(x)=-log

1

2

2x+2log

1

2

x+8的單調(diào)增區(qū)間是函數(shù)y=-μ²+2μ+8的單調(diào)減區(qū)間，
由μ≥1得：log

1

2

x≥1，⇒0≤x≤

1

2

；
故函數(shù)f(x)=-log

1

2

2x+2log

1

2

x+8的單調(diào)區(qū)間是：[

1

2

，+∝），（0，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的單調(diào)性，是基礎(chǔ)題． 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性一般是看函數(shù)包含的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性（1）如果兩個(gè)都是增的，那么函數(shù)就是增函數(shù)（2）一個(gè)是減一個(gè)是增，那就是減函數(shù)（3）兩個(gè)都是減，那就是增函數(shù)．