Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F₁的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)．若△ABF₂為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A、

  6

  2

• B、

  3

• C、

  5 +1

  2

• D、

  7

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,解三角形,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由△BAF₂為等邊三角形，設(shè)AF₂=t，則AB=BF₂=t，再由雙曲線的定義，求得t=4a，再由余弦定理可得a，c的關(guān)系，結(jié)合離心率公式即可計(jì)算得到．

解答： 解：由△BAF₂為等邊三角形，
設(shè)A為右支上一點(diǎn)，且AF₂=t，則AB=BF₂=t，
由雙曲線的定義可得，
AF₁-AF₂=2a，BF₂-BF₁=2a，AF₁=AB+BF₁，
即有t+2a=2t-2a，
解得，t=4a，
AF₁=6a，AF₂=4a，F(xiàn)₁F₂=2c，
由余弦定理可得，
F₁F₂²=AF₁²+AF₂²-2AF₁•AF₂cos60°，
即有4c²=36a²+16a²-2×6a×4a×

1

2

，
即為4c²=28a²，
則有e=

c

a

=

7

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率的求法，考查雙曲線的定義的運(yùn)用，考查余弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．