已知點P是圓F1(x+
3
)2+y2=16
上任意一點,點F2與點F1關(guān)于原點對稱.線段PF2的中垂線與PF1交于M點.
(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)設(shè)軌跡C與x軸的兩個左右交點分別為A,B,點K是軌跡C上異于A,B的任意一點,KH⊥x軸,H為垂足,延長HK到點Q使得HK=KQ,連接AQ延長交過B且垂直于x軸的直線l于點D,N為DB的中點.試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系.
(1)由題意得,F1(-
3
,0),F2(
3
,0)
(1分)
圓F1的半徑為4,且|MF2|=|MP|(2分)
從而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4>|F1F2|=2
3
(3分)
∴點M的軌跡是以F1、F2為焦點的橢圓,其中長軸2a=4,焦距2c=2
3

則短半軸b=
a2-c2
=
4-3
=1
,(4分)
橢圓方程為:
x2
4
+y2=1
(5分)
(2)設(shè)K(x0,y0),則
x02
4
+y02=1

∵HK=KQ,∴Q(x0,2y0).∴OQ=
x02+(2y02)
=2
(6分)
∴Q點在以O(shè)為圓心,2為半徑的圓上.即Q點在以AB為直徑的圓O上.(7分)
又A(-2,0),∴直線AQ的方程為y=
2y0
x0+2
(x+2)
.(8分)
令x=2,得D(2,
8y0
x0+2
)
.(9分)
又B(2,0),N為DB的中點,∴N(2,
4y0
x0+2
)
.(10分)
OQ
=(x0,2y0)
NQ
=(x0-2,
2x0y0
x0+2
)
.(11分)
OQ
NQ
=x0(x0-2)+2y0
2x0y0
x0+2
=x0(x0-2)+
4x0y02
x0+2
=x0(x0-2)+
x0(4-x02)
x0+2

=x0(x0-2)+x0(2-x0)=0.(13分)
OQ
NQ
.∴直線QN與圓O相切.(14分)
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

如圖,雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a,b>0)的兩頂點為A1,A2,虛軸兩端點為B1,B2,兩焦點為F1,F(xiàn)2.若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2,切點分別為A,B,C,D.則:
(Ⅰ)雙曲線的離心率e=______;
(Ⅱ)菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值
S1
S2
=______.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知動點A在直線l:x=1上,點C的坐標為(-1,0),經(jīng)過點A垂直于直線l的直線,交線段AC的垂直平分線于點P.求點P的軌跡.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

如圖,⊙O:x2+y2=16,A(-2,0),B(2,0)為兩定點,l是⊙O的一條動切線,若過A,B兩點的拋物線以直線l為準線,則拋物線焦點所在的軌跡是( 。
A.雙曲線B.橢圓C.拋物線D.圓

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
C:的左右焦點為F1,F(xiàn)2,離心率為e,直線l:y=ex+a與x軸、y軸分別交于點A、B,M是直線l與橢圓C的一個公共點,且
AM
=
3
4
AB

(1)計算橢圓的離心率e
(2)若直線l向右平移一個單位后得到l′,l′被橢圓C截得的弦長為
5
4
,則求橢圓C的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

過點(0,1)引直線與雙曲線x2-y2=1只有一個公共點,這樣的直線共有( 。
A.1條B.2條C.3條D.4條

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)拋物線y2=8x的準線與x軸交于點Q,若過Q點的直線l與拋物線有公共點,求直線l的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓的一個焦點為(
2
,0)
,且長軸長為短軸長的
3
倍.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設(shè)橢圓的下頂點為A,且橢圓與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點M,N.當|AM|=|AN|時,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
4
+
y2
3
=1
,直線l過點M(m,0).
(Ⅰ)若直線l交y軸于點N,當m=-1時,MN中點恰在橢圓C上,求直線l的方程;
(Ⅱ)如圖,若直線l交橢圓C于A,B兩點,當m=-4時,在x軸上是否存在點p,使得△PAB為等邊三角形?若存在,求出點p坐標;若不存在,請說明理由.

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