Question

已知=（5cosx，cosx），=（sinx，2cosx）其中x∈[，]，設(shè)函數(shù)f（x）=•+||²+
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若f（x）=8，求函數(shù)f（x-）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中=（5cosx，cosx），=（sinx，2cosx）設(shè)函數(shù)f（x）=•+||²+，根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式，我們易求出函數(shù)f（x）的解析式，進而根據(jù)二倍角公式和輔助角公式，可將函數(shù)f（x）的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，進而根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)及其中x∈[，]，求出函數(shù)f（x）的值域；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，及f（x）=8 我們可以求出2x+的正弦值，進而根據(jù)2x+的范圍求出其余弦值，進而根據(jù)f（x-）=5sin2x+5=5sin（2x+-）+5結(jié)合兩角差的正弦公式得到答案．
解答：解：（1）∵=（5cosx，cosx），=（sinx，2cosx）
函數(shù)f（x）=•+||²+=5cosx•sinx+2cosx•cosx+sin²x+4cos²x+…（2分）
=5cosx•sinx+5cos²x+
=sin2x+cos2x+5
=5sin（2x+）+5                              …（5分）
由∵x∈[，]，
∴≤2x+≤，
∴-≤sin（2x+）≤1…（7分）
即x∈[，]時，函數(shù)f（x）的值域為[，10]…（8分）
（2）∵f（x）=5sin（2x+）+5=8
則sin（2x+）=，…（9分）
又∵≤2x+≤，
∴cos（2x+）=-  …（11分）
∴f（x-）=5sin2x+5
=5sin（2x+-）+5
=5[sin（2x+）cos-cos（2x+）sin]+5
=5（•+•）+5
=+7 …（14分）
點評：本題考查的知識點是平面向量的數(shù)量積運算，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二倍角公式，輔助角公式，是平面向量和三角函數(shù)比較綜合的應(yīng)用，其中根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式、二倍角公式和輔助角公式，求出函數(shù)f（x）的解析式是解答本題的關(guān)鍵．