Question

已知函數f（x）=-x³+ax²-4
（1）若f（x）在x=

4

3

處取得極值，求函數f（x）的單調區(qū)間．
（2）若存在x₀∈（0，+∞），時，使得不等式f（x₀）＞0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數的導數，再利用導數與極值的關系，即可求出a的值，從而可求函數f（x）的單調區(qū)間．
（2）存在x₀∈（0，+∞），使得不等式f（x₀）＞0成立，即-x³+ax²-4＞0在（0，+∞）上有解，分離參數，即不等式 a＞x+

4

x2

在（0，+∞）上有解即可，從而令 g(x)=x+

4

x2

，只需要a＞g（x）_min，轉化為求函數的最小值．

解答：解：（1）f'（x）=-3x²+2ax，由題意得 f′(

4

3

)=0，解得a=2，此時f′(x)=-3x(x-

4

3

)，
可知函數在（0，

4

3

）上，f′（x）＞0，函數單調增，在（-∞，0），(

4

3

，+∞)上，f′（x）＜0，函數單調減，
所以函數單調增區(qū)間為（0，

4

3

），函數單調減區(qū)間為（-∞，0），(

4

3

，+∞)．
（2）根據題意，只需要不等式f（x）＞0在（0，+∞）上有解即可，
即-x³+ax²-4＞0在（0，+∞）上有解．即不等式 a＞x+

4

x2

在（0，+∞）上有解即可．
令 g(x)=x+

4

x2

，只需要a＞g（x）_min
而 g(x)=x+

4

x2

=

x

2

+

x

2

+

4

x2

≥3

3	x 2 • x 2 • 4 x2

=3，當且僅當

x

2

=

4

x2

，即x=2時“=”成立．
故a＞3，即a的取值范圍是（3，+∞）．

點評：本題以函數為載體，考查利用導數研究函數的極值、單調性和最值問題，體現了轉化的思想方法．其中問題（2）轉化為不等式f（x）＞0在（0，+∞）上有解，再利用分離參數法是解題的關鍵．