Question

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），右頂點(diǎn)為（，0）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+1與雙曲線C恒有兩個不同的交點(diǎn)A和B，P是弦AB的中點(diǎn)，OP的斜率為（其中O為原點(diǎn)），求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由雙曲線的右焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)易知其標(biāo)準(zhǔn)方程中的c、a，進(jìn)而求得b，則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程即得；
（2）直線l與雙曲線法才聯(lián)立消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，依據(jù)以線段AB的中點(diǎn)求得p點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用斜率是，求出k 的值．．
解答：解：（1）設(shè)雙曲線方程為 （a＞0，b＞0）．
由已知得 ．
故雙曲線C的方程為 ．
（2）聯(lián)立得：（1-3k²）x²-6kx-6=0
△=36k2+24（1-k2）＞0得：3k²＜2
∵1-3k²≠0
∴3k²＜2  3k²≠1
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=  x₁x₂=-
∴p點(diǎn)坐標(biāo)為（，）
∵kop= 
∴
∴k=
點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)以及直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，類題是歷年高考命題的熱點(diǎn)，試題具有一定的綜合性，覆蓋面大，字母運(yùn)算能力是一大考驗(yàn)．