Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，數(shù)列{a_n+S_n}是公差為2的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）證明數(shù)列{a_n-2}為等比數(shù)列；
（Ⅲ）判斷是否存在λ（λ∈Z），使不等式S_n-n+1≥λa_n對任意的n∈N^*成立，若存在，求出λ的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知（a_n+1+S_n+1）-（a_n+S_n）=2，即an+1=

an+2

2

，由此可知a2=

3

2

， a3=

7

4

．
（Ⅱ）由題意得a₁-2=-1，再由

an+1-2

an-2

=

an+2 2 -2

an-2

=

1

2

，知{a_n-2}是首項(xiàng)為-1，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
（Ⅲ）由題意知an=2-(

1

2

)n-1，所以Sn=2n-2+(

1

2

)n-1，設(shè)存在整數(shù)λ，使不等式n-1+(

1

2

)n-1≥λ[2-(

1

2

)n-1]對任意的n∈N^*成立，∴當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立，解得λ≤1．由此可知存在整數(shù)λ，使不等式S_n-n+1≥λa_n對任意的n∈N^*成立，且λ的最大值為1．

解答：（Ⅰ）解：∵數(shù)列{a_n+S_n}是公差為2的等差數(shù)列，∴（a_n+1+S_n+1）-（a_n+S_n）=2，
即an+1=

an+2

2

，（2分）∵a₁=1，∴a2=

3

2

， a3=

7

4

；（4分）
（Ⅱ）證明：由題意，得a₁-2=-1，∵

an+1-2

an-2

=

an+2 2 -2

an-2

=

1

2

，∴{a_n-2}是首項(xiàng)為-1，公比為

1

2

的等比數(shù)列；（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得an-2=-(

1

2

)n-1，∴an=2-(

1

2

)n-1，∵{a_n+S_n}是首項(xiàng)為a₁+S₁=2，公差為2的等差數(shù)列，∴a_n+S_n=2+（n-1）×2=2n，∴Sn=2n-2+(

1

2

)n-1，（9分）
設(shè)存在整數(shù)λ，使不等式S_n-n+1≥λa_n對任意的n∈N^*成立，
即存在整數(shù)λ，使不等式n-1+(

1

2

)n-1≥λ[2-(

1

2

)n-1]對任意的n∈N^*成立，∴當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立，解得λ≤1，（10分）
以下證明存在最大的整數(shù)λ=1，使不等式S_n-n+1≥λa_n對任意的n∈N^*成立．
當(dāng)n=2時(shí)，不等式化簡為

3

2

≥

3

2

，成立；
當(dāng)n≥3時(shí)，∵(Sn-n+1)-an=n-3+(

1

2

)n-2＞0，∴（S_n-n+1）＞a_n成立．
綜上，知存在整數(shù)λ，使不等式S_n-n+1≥λa_n對任意的n∈N^*成立，且λ的最大值為1．（14分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．