Question

設函數f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函數（a，b，c都是整數）且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）當x＜0，f（x）的單調性如何？用單調性定義證明你的結論；
（3）當x＞0時，求函數f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函數，得f（-x）=-f（x）對定義域內x恒成立，可求得c=0，f（1）=2，f（2）＜3，（a，b，c都是整數）可求得a=b=1；
（2）設x₁＜x₂≤-1，可得f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）＜0，故f（x）在（-∞，-1]上單調遞增；同理，可證f（x）在[-1，0）上單調遞減；
（3）由f（x）=x+

1

x

為奇函數，f（x）在（-∞，-1]上單調遞增，f（x）在[-1，0）上單調遞減，可得f（x）在（0，1]上單調遞減，f（x）在[1，+∞）上單調遞增，從而可求得當x＞0時，求函數f（x）的最小值．

解答：解：（1）由f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函數，得f（-x）=-f（x）對定義域內x恒成立，則

a(-x)2+1

b(-x)+c

=-

ax2+1

bx+c

，
∴-bx+c=-（bx+c）對定義域內x恒成立，
即c=0；（或由定義域關于原點對稱得c=0）
又f（1）=2，f（2）＜3，
∴

a+1 b =2① 4a+1 2b ＜3②

由①得a=2b-1代入②得

2b-3

2b

＜0，
∴0＜b＜

3

2

，又a，b，c是整數，得b=a=1．
（2）由（1）知，f（x）=

x2+1

x

=x+

1

x

，當x＜0，f（x）在（-∞，-1]上單調遞增，在[-1，0）上單調遞減．下用定義證明之．
設x₁＜x₂≤-1，則f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-（x₂+

1

x2

）=x₁-x₂-

x1-x2

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

），
因為x₁＜x₂≤-1，x₁-x₂＜0，1-

1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）在（-∞，-1]上單調遞增；
同理，可證f（x）在[-1，0）上單調遞減．
（3）∵f（x）=x+

1

x

為奇函數，由（2）可知，f（x）在（-∞，-1]上單調遞增，f（x）在[-1，0）上單調遞減，
∴f（x）在（0，1]上單調遞減，f（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∴當x＞0時，求函數f（x）的最小值為f（1）=1+1=2．

點評：本題考查函數奇偶性與單調性的綜合，著重考查雙鉤函數的性質及其應用，考查分析、轉化、推理證明與運算能力，屬于中檔題．