Question

已知A是拋物線y=

1

4

x2上的動點，B、C兩點分別在x軸的正、負半軸上，圓M：x²+（y-2）²=4內(nèi)切于△ABC，切點分別為T₁，T₂和原點O，設(shè)BC=m，AT₁=n．
（Ⅰ）證明：

1

m

+

1

n

為定值．
（Ⅱ）已知點A在第一象限，且當△ABC周長最小時，試求△ABC的外接圓方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)A（x，y），則n=

x2+(y-2)2-22

=y，所以2=r=

S△ABC

m+n

=

1 2 ym

m+n

=

1 2 nm

m+n

，由此能證明

1

m

+

1

n

為定值．
（Ⅱ）周長l=2（m+n）．由

1

4

=

1

m

+

1

n

≥

2

mn

≥

4

m+n

，知m+n≥16，l≥32，取最小值時，m=n=8，點A(4

2

，8)．
設(shè)點B的橫坐標為x₀，則直線AB的方程為l：x=

4 2 -x0

8

y+x0，點M到l的距離2=

|2(x0-4 2 )-8x0|

64+(x0-4 2 )2

，由此及彼能得到所求的方程．

解答：（本小題滿分16分）
解：（Ⅰ）設(shè)A（x，y），則n=

x2+(y-2)2-22

=y，
∴2=r=

S△ABC

m+n

=

1 2 ym

m+n

=

1 2 nm

m+n

，∴

1

m

+

1

n

=

1

4

．
（Ⅱ）周長l=2（m+n）．
∵

1

4

=

1

m

+

1

n

≥

2

mn

≥

4

m+n

，∴m+n≥16，∴l(xiāng)≥32，
取最小值時，m=n=8，點A的坐標為(4

2

，8)．
設(shè)點B的橫坐標為x₀，則直線AB的方程為l：x=

4 2 -x0

8

y+x0，
即8x+(x0-4

2

)y-8x0=0．
點M到l的距離2=

|2(x0-4 2 )-8x0|

64+(x0-4 2 )2

，整理得

x

2 0

+4

2

x0-8=0．
故可設(shè)所求圓方程為：x2+y2+4

2

x+Ey-8=0，將點(4

2

，8)代入得E=-15，
∴所求的方程為：x2+y2+4

2

x-15y-8=0．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓錐曲線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．