用數(shù)學歸納法證明:
12
1•3
+
22
3•5
+…+
n2
(2n-1)(2n+1)
=
n(n+1)
2(2n+1)
(n∈N*)
分析:本題考查的知識點是數(shù)學歸納法,根據(jù)數(shù)學歸納的步驟,我們要先論證n=1時,
12
1•3
+
22
3•5
+…+
n2
(2n-1)(2n+1)
=
n(n+1)
2(2n+1)
(n∈N*)
成立,再假設n=k時
12
1•3
+
22
3•5
+…+
n2
(2n-1)(2n+1)
=
n(n+1)
2(2n+1)
(n∈N*)
也成立,并由此證明n=k+1時,
12
1•3
+
22
3•5
+…+
n2
(2n-1)(2n+1)
=
n(n+1)
2(2n+1)
(n∈N*)
也成立,最后得到
12
1•3
+
22
3•5
+…+
n2
(2n-1)(2n+1)
=
n(n+1)
2(2n+1)
(n∈N*)
恒成立.
解答:證明(1)n=1時,
左邊
12
(2×1-1)(2×1+1)
=
1
3
=
1×(1+1)
2(2×1+1)
=右邊,等式成立
(2)假設n=k時等式成立,
12
1•3
+
22
3•5
++
k2
(2k-1)(2k+1)
=
k(k+1)
2(2k+1)
.

則n=k+1時,
左邊=
k(k+1)
2(2k+1)
+
(k+1)2
(2k+1)(2k+3)
=
k-1
2(2k+1)
(k+
2k+2
2k+3
)

=
k+1
2(2k+1)
2k2+5k+2
2k+3
=
k+1
2(2k+1)
(2k+1)(k+2)
2k+3
=
(k+1)(k+2)
2(2k+3)
.

∴n=k+1時,等式成立
由(1)(2)知,對一切n∈N*
12
1•3
+
22
3•5
++
n2
(2n-1)(2n+1)
=
n(n+1)
2(2n+1)
.
點評:數(shù)學歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關的性質,其步驟為:設P(n)是關于自然數(shù)n的命題,若1)(奠基) P(n)在n=1時成立;2)(歸納) 在P(k)(k為任意自然數(shù))成立的假設下可以推出P(k+1)成立,則P(n)對一切自然數(shù)n都成立.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

數(shù)列{an}滿足a1=
12
,Sn=n2an(n≥1)

(1)求S1,S2,S3并猜想Sn
(2)用數(shù)學歸納法證明(1)中猜想的正確性.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

用數(shù)學歸納法證明不等式1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n-1
n
2
(n∈N*),第二步由k到k+1時不等式左邊需增加(  )

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•南通一模)用數(shù)學歸納法證明:1×2×3+2×3×4+…+n×(n+1)×(n+2)=
n(n+1)(n+2)(n+3)4
(n∈N*)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

用數(shù)學歸納法證明:1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2n-1
-
1
2n
=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
,第一步應該驗證左式是
1-
1
2
1-
1
2
,右式是
1
2
1
2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

用數(shù)學歸納法證明:1+3+5+…+(2n-1)=n2

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