Question

函數(shù)f（x）=2x-

a

x

的定義域為（0，1]（a為實數(shù)）．
（1）當a=-2時，求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）若函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）求函數(shù)y=f（x）在x∈（0，1）上的最大值及最小值，并求出函數(shù)取最值時x的值．

Answer 1

（1）函數(shù)y=f（x）=2（x+

1

x

）在（0，1]上單調(diào)遞減，
∴y=f（x）的最小值為f（1）=4；
（2）若函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，
則任取x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）成立，即（x₁-x₂）（2+

a

x1x2

）＞0，
只要a＜-2x₁x₂即可，
由x₁，x₂∈（0，1]，得-2x₁x₂∈（-2，0），所以a≤-2，
故a的取值范圍是（-∞，-2]；
（3）①當a≥0時，函數(shù)y=f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，無最小值，
當x=1時取得最大值2-a；
②由（2）得當a≤-2時，函數(shù)y=f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，無最大值，
當x=1時取得最小值2-a；
③當-2＜a＜0時，函數(shù)y=f（x）在（0，

-2a

2

]上單調(diào)遞減，在[

-2a

2

，1]上單調(diào)遞增，無最大值；
當x=

-2a

2

時取得最小值2

-2a

．