已知函數(shù)f（x）=數(shù)學(xué)公式-數(shù)學(xué)公式（a＞0，x＞0）．
（1）若f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求a的取值范圍．

解：（1）∵f（x）=-，f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，且a＞0，
∴轉(zhuǎn)化為a≥=在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=（當(dāng)且僅當(dāng)2x=即x=時(shí)取等號(hào)），
即g（x）≤=
要使a≥=（0，+∞）上恒成立，則a≥，
故a的取值范圍是[，+∞）．

（2）任取x1＞x2＞0，
f（x1）-f（x2）=+-（）=＜0，
故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
∵f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n）
∴m=f（m），n=f（n），即am2-m+a=0，an2-n+a=0．
故方程ax2+x+a=0有兩個(gè)不相等的正根m，n，
注意到m•n=1，則只需要△=（1）2-4a2＞0，由于a＞0，則0＜a＜．
故（1）的答案為
（2）的答案為0＜a＜
分析：（1）要使得f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，即轉(zhuǎn)化為a≥=在（0，+∞）上恒成立，在利用基本不等式即可求解
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到m=f（m），n=f（n），在將之轉(zhuǎn)化為方程ax2+x+a=0有兩個(gè)不相等的正根，根據(jù)一元二次方程gender分布即可求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和最值的應(yīng)用，另外基本不等式和一元二次方程根的分布也是階梯的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時(shí)f（x）的表達(dá)式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實(shí)數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實(shí)數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2010的值為（　　）
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對(duì)于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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