如圖，已知橢圓（a> b>0）和圓O：x2+y2=b2，過橢圓上一點P引圓O的兩條切線，切點分別為A、B。
（1）①若圓O過橢圓的兩個焦點，求橢圓的離心率e；
②若橢圓上存在點P，使得∠APB=90°，求橢圓離心率e 的取值范圍；
（2）設(shè)直線AB與x軸、y軸分別交于點M、N，求證：為定值。
解：（1）①∵圓O過橢圓的焦點，圓O：x2+y2=b2，
∴b=c，
∴b2=a2-c2=c2，
∴a2=2c2，
∴；
②由∠APB=90°及圓的性質(zhì)，知四邊形OBPA為正方形，可得

∴|OP|2=2b2≤a2，
∴a2≤2c2
∴，。
（2）設(shè)P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），
則切線PA方程為：x1x+y1y=b2，PB方程為：x2x+y2y=b2
∴x1x+y1y=x2x+y2y，
∴
直線AB方程為：
即x0x+y0y=b2
令x=0，得
令y=0得
∴
∴為定值，定值是。
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（本題滿分14分）

如圖，已知橢圓=1(a＞b＞0)，F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上的頂點，直線AF2交橢圓于另 一點B.

(1)若∠F1AB=90°，求橢圓的離心率；

(2)若＝2，·＝，求橢圓的方程．

 

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如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過頂點A、B的直線與原點的距離為．

 

 

（1）求橢圓的方程．

（2）已知定點E（-1，0），若直線y＝kx＋2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆江蘇省淮安市高二上學(xué)期期末模擬考試（四）數(shù)學(xué) 題型：解答題

如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為．

 

 

（1）求橢圓的方程．

（2）已知定點E（-1，0），若直線y＝kx＋2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點．

問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆山東省濰坊市高二寒假作業(yè)（三）數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為．

 

 

（1）求橢圓的方程．

（2）已知定點E（-1，0），若直線y＝kx＋2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年河北省邯鄲市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（示范高中）如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過點 和的直線與原點的距離為．

(1)求橢圓的方程;

（2）已知定點，若直線與橢圓交于、兩點．問：是否存在的值，使以為直徑的圓過點?請說明理由．

 

 

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