Question

 選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知P為半圓C：（為參數(shù)，0≤≤）上的點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在射線(xiàn)OP上，線(xiàn)段OM與C的弧的長(zhǎng)度均為.

（Ⅰ）以O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn)M的極坐標(biāo);

（Ⅱ）求直線(xiàn)AM的參數(shù)方程.

    (24)選修4-5:不等式選講

    已知a,b,c均為正數(shù)，證明：a²+b²+c²+≥6，并確定a,b,c為何值時(shí)，

等號(hào)成立.

 

Answer 1

【答案】

 證明：(證法一)

    因?yàn)?i>a,b,c均為正數(shù)，由平均值不等式得

    a²+b²+c²≥                                           ①

       ≥

    所以≥.                 ②         

    故a²+b²+c²+≥

    又≥，      ③     

    所以原不等式成立.

    當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),①式和②式等號(hào)成立.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), ③式等號(hào)成立.

    即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí),原式等號(hào)成立.            

    (證法二)

    因?yàn)閍,b,c均為正數(shù),由基本不等式

    a²+b²≥2ab,

    b²+c²≥2bc

    c²+a²≥2ac.

    所以a²+b²+c²≥ab+bc+ac               ①

    同理≥     ②         

    故a²+b²+c²+()²

    ≥ab+bc+ac+3+3+3         

    ≥6.                             ③     

    所以原不等式成立

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),①式和②式等號(hào)成立,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c,(ab)²=(bc)²=(ac)²=3時(shí),③式等號(hào)成立.

    即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí),原式等號(hào)成立.