Question

（2013•昌平區(qū)一模）已知函數(shù)：
①f（x）=-x²+2x，
②f（x）=cos（

π

2

-

πx

2

），
③f（x）=|x-1|

1

2

．則以下四個(gè)命題對(duì)已知的三個(gè)函數(shù)都能成立的是（　　）
命題p：f（x）是奇函數(shù)；       
命題q：f（x+1）在（0，1）上是增函數(shù)；
命題r：f（

1

2

）＞

1

2

；            
命題s：f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．

A．命題p、q

B．命題q、s

C．命題r、s

D．命題p、r

Answer 1

分析：①中函數(shù)是二次函數(shù)，由二次函數(shù)的對(duì)稱軸是x=1且開口向下，即能判出函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，由函數(shù)在（1，+∞）上的單調(diào)性可知向左平移1個(gè)單位后的單調(diào)性；
②中的函數(shù)經(jīng)誘導(dǎo)公式化簡后變?yōu)?span id="q5ouq1b" class="MathJye">sin

π

2

x，然后逐一對(duì)四個(gè)命題進(jìn)行判斷；
③中的函數(shù)直接利用奇偶性定義判斷奇偶性，求出f（x+1）可判出f（x+1）為偶函數(shù)，從而得到在（0，1）上是增函數(shù)，利用圖象平移判出函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸．

解答：解：①函數(shù)f（x）=-x²+2x圖象是開口向下的拋物線，對(duì)稱軸方程是x=1，所以該函數(shù)不是奇函數(shù)；函數(shù)f（x）在
（1，+∞）上為減函數(shù)，而函數(shù)f（x+1）的圖象是把函數(shù)f（x）的圖象左移1個(gè)單位得到的，所以函數(shù)f（x+1）在（0，1）上是減函數(shù)；
f(

1

2

)=-(

1

2

)2+2×

1

2

=

3

4

＞

1

2

；f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
②f（x）=cos（

π

2

-

πx

2

）=sin

π

2

x，該函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)；f（x+1）=sin

π

2

(x+1)=cos

π

2

x，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，

π

2

x∈(0，

π

2

)，所以f（x+1）在（0，1）上是減函數(shù)；f(

1

2

)=cos(

π

2

-

π

4

)=cos

π

4

=

2

2

＞

1

2

；當(dāng)x=1時(shí)，f(1)=sin

π

2

=1，所以f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
③f（x）=|x-1|

1

2

，由于f(-x)=|-x-1|

1

2

=|x+1|

1

2

≠|(zhì)x-1|

1

2

=f（x），所以f（x）不是奇函數(shù)；
f（x+1）=|x+1-1|

1

2

=|x|

1

2

，在（0，1）上是增函數(shù)；f(

1

2

)=|

1

2

-1|

1

2

=(

1

2

)

1

2

=

2

2

＞

1

2

；
因?yàn)?span id="pvmka3o" class="MathJye">f(x+1)=|x|

1

2

是偶函數(shù)，圖象關(guān)于x=0對(duì)稱，所以f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
綜上，對(duì)三個(gè)函數(shù)都成立的命題是r和s．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假的判斷與應(yīng)用，考查了復(fù)合函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性及對(duì)稱性，考查了函數(shù)值的計(jì)算，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)圖象的平移，此題是基礎(chǔ)題．