Question

已知函數(shù)f（x）=x³+（a+1）x²+a（2-a）x+b（a，b∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是-3，求a，b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上不單調(diào)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)：f′（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2），再利用導(dǎo)數(shù)求出在x=-1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．列出關(guān)于a，b等式解之，從而問題解決．
（2）根據(jù)題中條件：“函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）不單調(diào)，”等價(jià)于“導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（-1，1）既能取到大于0的實(shí)數(shù)，又能取到小于0的實(shí)數(shù)”，由于導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù)，有兩個(gè)根，故問題可以轉(zhuǎn)化為到少有一根在在區(qū)間（-1，1）內(nèi)，先求兩根，再由以上關(guān)系得到參數(shù)的不等式，解出兩個(gè)不等式的解集，求其并集即可；

解答：解：（1）由題意得f′（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）
又

f(0)=b=0 f′(0)=-a(a+2)=-3

，
解得b=0，a=-3或a=1；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）不單調(diào)，等價(jià)于
導(dǎo)函數(shù)f'（x）[是二次函數(shù)]，在（-1，1有實(shí)數(shù)根但無重根．
∵f'（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）=（x-a）[3x+（a+2）]，
令f'（x）=0得兩根分別為x=a與x=-

a+2

3

，
若a=-

a+2

3

，即a=-

1

2

時(shí)，此時(shí)導(dǎo)數(shù)恒大于等于0，不符合題意，
當(dāng)兩者不相等時(shí)即a≠-

1

2

時(shí)，
有a∈（-1，1）或者-

a+2

3

∈（-1，1），
解得a∈（-5，1）且a≠-

1

2

．
綜上得參數(shù)a的取值范圍是（-5，-

1

2

）∪（-

1

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．