Question

已知函數(shù)f（x）=

3

(sin2x-cos2x)-2sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

3

個單位，再將所得的圖象上各點的橫坐標擴大為原來的4倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求g（x）在[-

π

3

，

3π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、兩角和的正弦公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為-2sin（2x+

π

3

），可得f（x）的最小正周期．再令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范圍，即可
得到f（x）的單調遞增區(qū)間．
（2）第一次變換可得y=2sin2x的圖象，再經(jīng)過第二次變換可得y=2sin

1

2

x的圖象，故g（x）=2sin

1

2

x．根據(jù)x的范圍求得sin

1

2

x的范圍，從而求得g（x）的值域．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

3

(sin2x-cos2x)-2sinxcosx=-

3

cos2x-sin2x=-2sin（2x+

π

3

），
∴f（x）的最小正周期為

2π

2

=π．
令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得 kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈z，
故f（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈z．
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

3

個單位，可得函數(shù)y=-2sin[2（x+

π

3

）+

π

3

]=2sin2x的圖象，
再將所得的圖象上各點的橫坐標擴大為原來的4倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)=2sin

1

2

x的圖象，故g（x）=2sin

1

2

x．
∵-

π

3

≤x≤

3π

2

，∴-

π

6

≤

1

2

x≤

3π

4

，∴-

1

2

≤sin

1

2

x≤1，
∴g（x）的值域為[-1，2]．

點評：本題主要考查兩角和的正弦公式、誘導公式、二倍角公式的應用，y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．