Question

已知函數(shù)f（x）=2sinωx+cos（ωx+

π

6

）-sin（ωx-

π

3

）-1（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期為4π．
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值及相應的x的值；
（Ⅱ）在△ABC中，若角A、B、C所對邊分別為a、b、c，且f（B）=1，b=3

3

，a+c=3

6

，求sinAsinC的值．

Answer 1

分析：（I）利用輔角公式與兩角差的正弦公式對函數(shù)解析式進行化簡可得2sin(ωx+

π

3

)-1，根據(jù)最小正周期公式求出ω的值，再由正弦函數(shù)的特點得出當

1

2

x+

π

3

=2kπ-

π

2

，f（x）取最小值，當

1

2

x+

π

3

=2kπ+

π

2

時，f（x）取最大值；
（II）將x=B代入求出B的值，再由正弦定理求出2R的值，最后根據(jù)余弦定理得出ac的值，進而可得出結果．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2sinωx+cos(ωx+

π

6

)-sin(ωx-

π

3

)-1=sinωx+

3

cosωx-1=2sin(ωx+

π

3

)-1--------------------（2分）
由

2π

ω

=4π得ω=

1

2

，所以f(x)=2sin(

1

2

x+

π

3

)-1-----------------（4分）
則當

1

2

x+

π

3

=2kπ-

π

2

即x=4kπ-

5π

3

(k∈Z)時，f（x）的最小值-3------（5分）
當

1

2

x+

π

3

=2kπ+

π

2

即x=4kπ+

π

3

(k∈Z)時，f（x）的最大值1-------（6分）
（Ⅱ）由f（B）=1，得2sin(

1

2

B+

π

3

)-1=1，解得B=

π

3

-------------（8分）
∴2R=

b

sinB

=

3 3

3 2

=6------------------------（10分）
又由余弦定理知b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-3ac，∴ac=9
則sinAsinC=

a

2R

•

c

2R

=

1

4

-------------------------（12分）

點評：此題考查了利用輔角公式與兩角差的正弦公式對函數(shù)解析式進行化簡，以及正弦定理和余弦定理的應用，有一定的綜合性，屬于中檔題．