Question

（2007•武漢模擬）（1）已知函數(shù)m（x）=ax²e^-x （a＞0），求證：函數(shù)y=m（x）在區(qū)間[2，+∞）上為減函數(shù)．
（2）已知函數(shù)f（x）=ax²+2ax，g（x）=e^x，若在（0，+∞）上至少存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲證函數(shù)y=m（x）在區(qū)間[2，+∞）上為減函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），只須證明f′（x）＜0即可；
（2）欲在（0，+∞）上至少存在一點(diǎn)x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，只需f（x）=

f(x)

g(x)

的最大值大于1，建立不等關(guān)系，解之即可．

解答：解：（1）m'（x）=axe^-x（2-x），而ax＞0，∴當(dāng)x＞2時(shí)，m'（x）＜0，因此m（x）在[2，+∞）上為減函數(shù)．
（2）記m（x）=

ax2+2ax

ex

，則m'（x）=（-ax²+2a）e^-x，
當(dāng)x＞

2

時(shí)，m'（x）＜0 當(dāng)0＜x＜

2

時(shí)，m'（x）＞0
故m（x）在x=

2

時(shí)取最大值，同時(shí)也為最大值．m（x）_max=m（

2

）=

2a+2 2 a

e 2

依題意，要在（0，+∞）上存在一點(diǎn)x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立．即使m（x₀）＞1只需m（

2

）＞1
即

2a+2 2 a

e 2

＞1∴a＞

2 -1

2

e 

2

，因此，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

2 -1

2

e 

2

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．