Question

已知函數(shù){a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a_n+1-a_n=2n+1
（I）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求-a₁+a₂-a₃+…+（-1）ⁿa_n．

Answer 1

解：（I）當(dāng)n≥2 時(shí) a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a _n-1）=1+3+5+…+（2n-1）=n²
且對(duì)于n=也成立，∴a_n=n²
（II）記Sn=-a₁+a₂-a₃+…+（-1）ⁿa_n．
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)Sn=（-1²+2²）+（-3²+4²）++…[（n-1）²-n²]
=（1+2）+（3+4）+…[（n-1）+（n）]
=
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)
Sn=-1²+（2²-3²）+（4²-5²）+…[（n-1）²-n²]
=-1-（2+3）-（4+5）-…-[（n-1）+n]
=-
綜上，Sn=（-1）^n•
分析：（I）由已知，數(shù)列后項(xiàng)與前項(xiàng)之差成等差數(shù)列，可用當(dāng)n≥2 時(shí) a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a _n-1）求解．
（II）觀察式子特點(diǎn)，利用a²-b²=（a+b）（a-b）將項(xiàng)進(jìn)行降次，轉(zhuǎn)化成有特殊性質(zhì)的數(shù)列求和．
點(diǎn)評(píng)：本題考查累和法，分組法數(shù)列求和，以及轉(zhuǎn)化的思想方法．要注意n的奇偶性對(duì)分組的影響．