Question

5．函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），對?x∈R，都有2f′（x）＞f（x）成立，若f（ln4）=2，則不等式f（x）＞e${\;}^{\frac{x}{2}}}$的解集是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （0，ln4）
• C． （ln4，+∞）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 構造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{\frac{x}{2}}}$，利用導數(shù)可判斷g（x）的單調性，再根據(jù)f（ln4）=2，求得g（ln4）=1，繼而求出答案

解答 解：∵?x∈R，都有2f′（x）＞f（x）成立，
∴f′（x）-$\frac{1}{2}$f（x）＞0，于是有（$\frac{f（x）}{{e}^{\frac{x}{2}}}$）′＞0，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{\frac{x}{2}}}$，則有g（x）在R上單調遞增，
∵不等式f（x）＞e${\;}^{\frac{x}{2}}}$，
∴g（x）＞1，
∵f（ln4）=2，
∴g（ln4）=1，
∴x＞ln4，
故選：C．

點評 本題考查導數(shù)的運算及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，屬中檔題，解決本題的關鍵是根據(jù)選項及已知條件合理構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性．