Question

17、在（a-2b）ⁿ的展開式中，
（1）若n=10，求展開式的倒數(shù)第四項（要求將系數(shù)計算到具體數(shù)值）
（2）若展開式中二項式系數(shù)不超過6的項恰好有5項，求n的值；
（3）若展開式中系數(shù)不超過6的項恰好有五項，求n的值．

Answer 1

分析：（1）利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令r=7即倒數(shù)第4項．
（2）展開式中二項式系數(shù)不超過6的項恰好有5項，從兩個方面考慮：一方面說明n≥4，5項存在．另一方面說明展開式的第二項的二項式系數(shù)也不超過6，即n≤6，再分別求出當n=4時，當n=5，當n=6，各項的二項式系數(shù)，從而求得n的值；
（3）由于展開式第r+1項的系數(shù)是C_n^r（-2）^r展開式種的第一項系數(shù)等于1，不超過6；要展開式有5項，n≥4，展開式種所有偶數(shù)項的系數(shù)均為負，故偶數(shù)項不能超過4項，即n≤8，下面分別求出當n=4，n=5，n=6時，n=7時，當n=8時，討論展開式中系數(shù)不超過6的項的情況，從而求得所求n的值．

解答：解：（1）（a-2b）ⁿ展開式的通項公式（即第r+1項）是：T_r+1=C_n^ra^n-r（-2b）^r
n=10時，展開式共有11項，其倒數(shù)第四項即第八項．T₇₊₁=C₁₀⁷a^10-7（-2b）⁷=-15360a³b⁷
（2）展開式中二項式系數(shù)不超過6的項恰好有5項，
一方面說明n≥4，5項存在．
另一方面說明展開式的第二項的二項式系數(shù)也不超過6，即n≤6
當n=4時，各項的二項式系數(shù)分別是1，4，6，4，1，恰好有5項二項式系數(shù)不超過6．
當n=5，各項的二項式系數(shù)分別是1，5，10，10，5，1，沒有5項二項式系數(shù)不超過6．
當n=6，各項的二項式系數(shù)分別是1，6，15，20，15，6，1，沒有5項的二項式系數(shù)不超過6．
所以，所求n的值等于4．
（3）展開式第r+1項的系數(shù)是C_n^r（-2）^r
展開式種的第一項系數(shù)等于1，不超過6；
要展開式有5項，n≥4
展開式種所有偶數(shù)項的系數(shù)均為負，故偶數(shù)項不能超過4項，即n≤8
當n=4時，各項的習俗分別是1，-8，24，-32，16，沒有5項系數(shù)不超過6．
類似地，n=5，n=6時，展開式種都沒有5項系數(shù)不超過6．
當n=7時，第1，2，4，6，8項的習俗不超過6．
當n=8時，第1，2，4，6，8項的習俗不超過6．
所以，所求n的值等于7或者8．

點評：本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．主要考查了二項展開式中的系數(shù)最大的項的求法：利用最大的系數(shù)大于它前面的系數(shù)同時大于它后面的系數(shù)來求．