Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|+b．
（1）當(dāng)a=1，b=1時(shí)，求所有使f（x）=x成立的x的值．
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求證：a²+b²=0；
（3）設(shè)常數(shù)b＜，且對(duì)任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=1，b=1時(shí)，函數(shù)f（x）=x|x-1|+1．由x|x-1|+1=x，可解得x=1或x=-1
（2）若f（x）為奇函數(shù)，則對(duì)任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
即-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0，令x=0得b=0，令x=a得a=0，∴a²+b²=0
（3）由b=＜0，當(dāng)x=0時(shí)，a取任意實(shí)數(shù)不等式恒成立．
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）＜0恒成立，即恒成立．
令g（x）=在0＜x≤1上單調(diào)遞增，∴a＞g_max（x）=g（1）=1+b，．
令h（x）=，則h（x）在（0，上單調(diào)遞減，[，+∞）單調(diào)遞增
當(dāng)b＜-1時(shí)，h（x）=在0＜x≤1上單調(diào)遞減；
∴a＜h_min（x）=h（1）=1-b，∴1+b＜a＜1-b．
而-1＜b＜時(shí)，h（x）=≥．
∴a＜h_min（x）=．
∴1+b．
分析：（1）把a(bǔ)=1，b=1代入可得，函數(shù)f（x）=x|x-1|+1．解之即可；
（2）由奇函數(shù)的定義可得-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0，令x=0得b=0，令x=a得a=0，可得a²+b²=0；
（3）分類討論：由b=＜0，當(dāng)x=0時(shí)，a取任意實(shí)數(shù)不等式恒成立．當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）＜0恒成立，即恒成立．由函數(shù)的區(qū)間最值可得．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的零點(diǎn)，奇偶性和單調(diào)性以及最值，屬基礎(chǔ)題．