Question

設f（x）是R上的奇函數，f（x+2）=-f（x），當0≤x≤1時，f（x）=x．
（Ⅰ）求f（π）的值；
（Ⅱ）作出當-4≤x≤4時函數f（x）的圖象，并求它與x軸所圍成圖形的面積；
（Ⅲ）直接寫出函數f（x）在R上的單調區(qū)間．

Answer 1

解：（1）由f（x+2）=-f（x）得，f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的周期函數，
∴f（π）=f（-1×4+π）=f（π-4）=-f（4-π）=-（4-π）=π-4．
（2）由f（x）是奇函數與f（x+2）=-f（x），得：f[（x-1）+2]=-f（x-1）=f[-（x-1）]，
即f（1+x）=f（1-x）．
故知函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
又0≤x≤1時，f（x）=x，且f（x）的圖象關于原點成中心對稱，則f（x）的圖象如圖所示．

當-4≤x≤4時，f（x）的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，
則S=4S_△OAB=4×=4，
（3）由圖得，
函數f（x）的單調遞增區(qū)間為[4k-1，4k+1]（k∈Z），
單調遞減區(qū)間[4k+1，4k+3]（k∈Z）．
分析：（1）利用f（x+2）=-f（x）得f（x）是以4為周期的周期函數，從而可求f（π）的值；
（2）當-4≤x≤4時，確定函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，可得f（x）的圖象，從而可求圖象與x軸所圍成圖形的面積；
（3）根據周期性，結合函數的通項，即可得到函數f（x）的單調區(qū)間．
點評：本題考查函數的奇偶性與周期性，函數的單調性，考查學生作圖能力和分析解決問題的能力，屬于中檔題．