Question

已知曲線C：xy=1，過(guò)C上一點(diǎn)A_n（x_n，y_n）作一斜率為kn=-

1

xn+2

的直線交曲線C于另一點(diǎn)A_n+1（x_n+1，y_n+1），點(diǎn)列A_n（n=1，2，3，…）的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{x_n}，其中x1=

11

7

．
（1）求x_n與x_n+1的關(guān)系式；
（2）求證：{

1

xn-2

+

1

3

}是等比數(shù)列；
（3）求證：（-1）x₁+（-1）²x₂+（-1）³x₃+…+（-1）ⁿx_n＜1（n∈N，n≥1）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A_n的坐標(biāo)表示出斜率k_n，代入kn=-

1

xn+2

求得x_nx_n+1=x_n+2整理后即可求得x_n與x_n+1的關(guān)系式；
（2））記an=

1

xn-2

+

1

3

，把（1）中求得x_n與x_n+1的關(guān)系式代入可求得a_n+1=-2a_n推斷數(shù)列{a_n}即：{

1

xn-2

+

1

3

}是等比數(shù)列；
（3）由（2）可求得

1

xn-2

+

1

3

的表達(dá)式，進(jìn)而求得x_n，進(jìn)而看n為偶數(shù)時(shí)，求得（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n=

2n-1+2n

(2n-1+ 1 3 )(2n- 1 3 )

＜

1

2n-1

+

1

2n

，進(jìn)而可證（-1）x₁+（-1）²x₂+（-1）³x₃+…+（-1）ⁿx_n＜1；再看n為奇數(shù)時(shí)，
前n-1項(xiàng)為偶數(shù)項(xiàng)，則可證出：（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n＜-1+

1

2n+ 1 3

＜1，最后綜合原式可證．

解答：解：（1）過(guò)C：y=

1

x

上一點(diǎn)A_n（x_n，y_n）作斜率為k_n的直線交C于另一點(diǎn)A_n+1，
則kn=

yn+1-yn

xn+1-xn

=

1 xn+1 - 1 xn

xn+1-xn

=-

1

xn+1•xn

=-

1

xn+2

，
于是有：x_nx_n+1=x_n+2
即：xn+1=1+

2

xn

．
（2）記an=

1

xn-2

+

1

3

，
則an+1=

1

xn+1-2

+

1

3

=

1

xn+2 xn -2

+

1

3

=-2(

1

xn-2

+

1

3

)=-2an，
因?yàn)?span id="3a9ax5m" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">x1=

11

7

 ， 而a1=

1

x1-2

+

1

3

=-2≠0，
因此數(shù)列{

1

xn-2

+

1

3

}是等比數(shù)列．
（3）由（2）知：an=(-2)n ， 則xn=2+

1

(-2)n- 1 3

，(-1)nxn=(-1)n•2+

1

2n-(-1)n• 1 3

．
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)有：（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n=
=

1

2n-1+ 1 3

+

1

2n- 1 3

=

2n-1+2n

(2n-1+ 1 3 )(2n- 1 3 )

＜

2n-1+2n

2n-1•2n

＜

1

2n-1

+

1

2n

，
于是在n為偶數(shù)時(shí)有：(-1)x1+(-1)2x2++(-1)nxn＜

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

++

1

2n

＜1．
1在n為奇數(shù)時(shí)，前n-1項(xiàng)為偶數(shù)項(xiàng)，
于是有：（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n＜1+(-1)nxn=1-xn=1-(2+

1

(-2)n- 1 3

)=-1+

1

2n+ 1 3

＜1．
綜合①②可知原不等式得證．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推式．考查了學(xué)生推理能力和基本的運(yùn)算能力．