Question

【題目】已知函數(shù) f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．（12分）
（1）討論 f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x，

∴f′（x）=2e2x﹣aex﹣a2=（2ex+a）（ex﹣a），

①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，

∴f（x）在R上單調(diào)遞增，

②當(dāng)a＞0時(shí)，2ex+a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna，

當(dāng)x＜lna時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x＞lna時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，

③當(dāng)a＜0時(shí)，ex﹣a＞0，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣ ），

當(dāng)x＜ln（﹣ ）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x＞ln（﹣ ）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，

綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，

當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（﹣∞，ln（﹣ ））上單調(diào)遞減，在（ln（﹣ ），+∞）上單調(diào)遞增，

（2）

①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=e2x＞0恒成立，

②當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）可得f（x）min=f（lna）=﹣a2lna≥0，

∴l(xiāng)na≤0，

∴0＜a≤1，

③當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）可得f（x）min=f（ln（﹣ ））= ﹣a2ln（﹣ ）≥0，

∴l(xiāng)n（﹣ ）≤ ，

∴﹣ ≤a＜0，

綜上所述a的取值范圍為[﹣ ，1]

【解析】（1.）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可判斷，
（2.）根據(jù)（1）的結(jié)論，分別求出函數(shù)的最小值，即可求出a的范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解基本求導(dǎo)法則的相關(guān)知識，掌握若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)，以及對利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的理解，了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．