Question

4．已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且經(jīng)過點M（4，1）．直線l：y=x+m交橢圓于A，B兩不同的點．
（1）求橢圓方程；
（2）若直線l與橢圓有兩個不同的交點，求m的取值范圍；  
（3）若直線l不過點M，求證：直線MA，MB與x軸圍成等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，可求得a²=4b²，可設(shè)橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，再把點M（4，1）代入即可；
（2）把y=x+m代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$，整理，利用△＞0即可求得m的取值范圍；
（3）由（2）可得到兩根之和、兩根之積，設(shè)直線MA，MB斜率分別為k₁和k₂，化簡k₁+k₂ 的結(jié)果等于0，即說明MB與x軸所圍的三角形為等腰三角形．

解答 （1）解：∵$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，得a²=4b²，則橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，把點（4，1）代入，得b²=5，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（2）解：把y=x+m代入橢圓方程得：5x²+8mx+4m²-20=0，
∵直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點A，B，
∴△=64m²-4×5（4m²-20）＞0，整理得m²＜25，
∴-5＜m＜5；
（3）證明：直線MA，MB斜率分別為k₁和k₂，只要證k₁+k₂=0即可．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由（2）得：
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8m}{5}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-20}{5}$，
∴${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-4}+\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-4}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-4）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-4）}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$．
而此分式的分子等于（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）=$\frac{2（4{m}^{2}-20）}{5}$$-\frac{8m（m-5）}{5}-8（m-1）=0$，可得k₁+k₂=0，
因此MA，MB與x軸所圍的三角形為等腰三角形．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，著重考查待定系數(shù)法求橢圓的方程及方程思想與化歸思想，屬于中檔題．