Question

已知函數(shù)f（x）=2（a-1）ln（x-1）+x-（4a-2）lnx，其中實(shí)數(shù)a為常數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)y=f（e^x）有極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為x₁、x₂，且x₂-x₁＞ln2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先對(duì)函數(shù)y=f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0（或小于0）求出x的范圍，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可得到答案．
（II）由題意可知由題意知，y′=0有兩解．下面分類討論：當(dāng)2a-1＞2時(shí)；當(dāng)1＜2a-1＜2時(shí)；當(dāng)2a-1=2時(shí)，研究其極值點(diǎn)得到b的范圍即可．

解答：解：（1）解：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2ln（x-1）+x-6lnx，∴f′(x)=

2

x-1

+1-

6

x

=

(x-2)(x-3)

x(x-1)

，
又∵x＞0，x-1＞0，∴當(dāng)2＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（2，3）．（6分）
（2）∵y=f（e^x）=2（a-1）ln（e^x-1）+e^x-（4a-2）lne^x，∴y′=

2(a-1)ex

ex-1

+ex-(4a-2)=

(ex-2)[ex-(2a-1)]

ex-1

，
由題意知，y′=0有兩解．
又e^x-1＞0，∴2a-1＞1，∴a＞1，（9分）
當(dāng)2a-1＞2時(shí)，y=f（e^x）在（0，ln2），（ln（2a-1），+∞）上單調(diào)遞增，
在（ln2，ln（2a-1））單調(diào)遞減，∴x₁=ln2，x₂=ln（2a-1），∵x₂-x₁＞ln2，∴a＞

5

2

，（12分）
當(dāng)1＜2a-1＜2時(shí)，y=f（e^x）在（0，ln（2a-1）），（ln2，+∞）上單調(diào)遞增，在（ln（2a-1），ln2）單調(diào)遞減，∴x₁=ln（2a-1），x₂=ln2，∵x₂-x₁＞ln2，∴a＜1，舍去，
當(dāng)2a-1=2時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)，舍去，∴a＞

5

2

．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．