Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2a_n-1（n∈N₊）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設b_n=，數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，求證：≤T_n＜1．

Answer 1

（1）解：當n=1時，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1），∴a_n=2a_n-1
∴數(shù)列{a_n}是首項為a₁=1，公比為2的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=2^n-1；
（2）證明：b_n==2（-）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=2[（-）+（-）+…+（-）]=2（）＜1
∵T_n+1-T_n=b_n+1=＞0
∴數(shù)列{T_n}是遞增數(shù)列
∵T₁=
∴≤T_n＜1
分析：（1）根據(jù)數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減，即可求得數(shù)列的通項；
（2）確定數(shù)列的通項，利用疊加法求和，證明是遞增數(shù)列，即可證得結(jié)論．
點評：本題考查數(shù)列的通項，考查數(shù)列的求和，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項，屬于中檔題．