【題目】已知橢圓(),四點, , , 中恰有三點在橢圓上.
(1)求的方程;
(2)設直線不經(jīng)過點且與相交于兩點,若直線與直線的斜率之和為,證明: 過定點.
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)橢圓的對稱性,得到, , , 三點在橢圓C上.把點坐標代入橢圓C,求出a2=4,b2=1,由此能求出橢圓C的方程.
(2)設直線l: ,,不設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2, 聯(lián)立直線P2A與橢圓方程得 代入直線l方程: 中得,同理,所以易知k1,k2 ,是方程 兩根,由韋達定理,即可得解.
試題解析:
(1)由于p3,p4兩點關于y軸對稱,故由題設知C經(jīng)過p3,p4兩點,又由知,C不經(jīng)過點 ,所以點在C上
因此 ,解得
故C的方程為
(2)由題設易知,直線l與x軸不平行,故可設方程為:,
設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2 ,
聯(lián)立直線P2A與橢圓方程
即代入直線方程得.
即代入直線l方程: 中,
化簡得:
同理:
易知k1,k2 ,是方程 兩根
故k1+k2 =
m=t+2
即直線l為:
即l過定點(2,-1).
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【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)當時,求函數(shù)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)當,時,證明:(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,以為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為(),為上一點,以為邊作等邊三角形,且、、三點按逆時針方向排列.
(Ⅰ)當點在上運動時,求點運動軌跡的直角坐標方程;
(Ⅱ)若曲線: ,經(jīng)過伸縮變換得到曲線,試判斷點的軌跡與曲線是否有交點,如果有,請求出交點的直角坐標,沒有則說明理由.
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【題目】已知橢圓的左,右焦點為,左,右頂點為,過點的
直線分別交橢圓于點.
(1)設動點,滿足,求點的軌跡方程;
(2)當時,求點的坐標;
(3)設,求證:直線過軸上的定點.
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【題目】如圖在四面體ABCD中,若截面PQMN是正方形,則在下列命題中正確的有 .(填上所有正確命題的序號)
①AC⊥BD
②AC=BD
③AC∥截面PQMN
④異面直線PM與BD所成的角為45°.
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【題目】某手機賣場對市民進行國產(chǎn)手機認可度的調查,隨機抽取名市民,按年齡(單位:歲)進行統(tǒng)計和頻數(shù)分布表和頻率分布直線圖如下:
分組(歲) | 頻數(shù) |
合計 |
(1)求頻率分布表中、的值,并補全頻率分布直方圖;
(2)在抽取的這名市民中,按年齡進行分層抽樣,抽取人參加國產(chǎn)手機用戶體驗問卷調查,現(xiàn)從這人中隨機選取人各贈送精美禮品一份,設這名市民中年齡在內的人數(shù),求的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】如圖,四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AD//BC,且BC⊥PB,△PAB是等邊三角形,DA=AB=2,BC=AD,E是線段AB的中點.
(I)求證:PE⊥CD;
(II)求PC與平面PDE所成角的正弦值.
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