Question

已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(0＜α＜β＜π)，

(1)求證：a＋b與a－b互相垂直；

(2)若ka＋b與a－kb的大小相等(k∈R且k≠0)，求β－α

Answer 1

答案：
解析：

(1)證法一：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ) 　　∴a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)，a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ) 　　∴(a＋b)·(a－b)＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)·(cosα－cosβ，sinα－sinβ) 　�。絚os2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝0 　　∴(a＋b)⊥(a－b) 　　證法二：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ) 　　∴|a|＝1，|b|＝1 　　∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝0 　　∴(a＋b)⊥(a－b) 　　證法三：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)∴|a|＝1，|b|＝1， 　　記＝a，＝b，則||＝||＝1， 　　又α≠β，∴O、A、B三點不共線． 　　由向量加、減法的幾何意義，可知以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OACB是菱形，其中＝a＋b，＝a－b，由菱形對角線互相垂直，知(a＋b)⊥(a－b) 　　(2)解：由已知得|ka＋b|與|a－kb|， 　　又∵|ka＋b|2＝(kcosα＋cosβ)2＋(ksinα＋sinβ)2＝k2＋1＋2kcos(β－α)， 　　|ka＋b|2＝(cosα－kcosβ)2＋(sinα－ksinβ)2＝k2＋1－2kcos(β－α)， 　　∴2kcos(β－α)＝－2kcos(β－α) 　　又∵k≠0，∴cos(β－α)＝0 　　∵0＜α＜β＜π，∴0＜β－α＜π，∴β－α＝