Question

4．某校高三年級準備舉行一次座談會，其中三個班被邀請的學(xué)生數(shù)如表所示：

班級	高三（1）	高三（2）	高三（3）
人數(shù)	3	3	4

（Ⅰ）若從這10名學(xué)生中隨機選出2名學(xué)生發(fā)言，求這2名學(xué)生不屬于同一班級的概率；
（Ⅱ）若從這10名學(xué)生中隨機選出3名學(xué)生發(fā)言，設(shè)X為來自高三（1）班的學(xué)生人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）從10名學(xué)生隨機選出2名的方法數(shù)為$C_{10}^2$，選出2人中不屬于同一班級的方法數(shù)為$2C_4^1•C_3^1+C_3^1•C_3^1$，由此能求出這2名學(xué)生不屬于同一班級的概率．
（Ⅱ）X可能的取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）從10名學(xué)生隨機選出2名的方法數(shù)為$C_{10}^2$，
選出2人中不屬于同一班級的方法數(shù)為$2C_4^1•C_3^1+C_3^1•C_3^1$…（4分）
設(shè)2名學(xué)生不屬于同一班級的事件為A
所以$P（A）=\frac{2C_4^1•C_3^1+C_3^1•C_3^1}{{C_{10}^2}}=\frac{11}{15}$．…（6分）
（Ⅱ）X可能的取值為0，1，2，3，
$P（X=0）=\frac{C_7^3}{{C_{10}^3}}=\frac{7×6×5}{10×9×8}=\frac{7}{24}$，
$P（X=1）=\frac{C_7^2C_3^1}{{C_{10}^3}}=\frac{6×7×6×3}{2×10×9×8}=\frac{21}{40}$，
$P（X=2）=\frac{C_7^1C_3^2}{{C_{10}^3}}=\frac{6×7×3}{10×9×8}=\frac{7}{40}$，
$P（X=3）=\frac{C_3^3}{{C_{10}^3}}=\frac{6}{10×9×8}=\frac{1}{120}$．…（10分）
所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{7}{24}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{120}$

所以$E（X）=\frac{7}{24}×0+\frac{21}{40}×1+\frac{7}{40}×2+\frac{1}{120}×3=\frac{9}{10}$．…（13分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．