把邊長為acm的正六邊形板材剪去六個相同的四邊形(如圖陰影部分)后，用剩余部分做成一個無蓋的正六棱柱形容器(不計接縫).如果容器容積的最大值為3 000cm3，求正六邊形板材邊長a的值.

解：如圖，設(shè)AB的長為xcm,根據(jù)題意0＜x＜,

正六棱柱的體積V(x)=Sh=(a-2x)2×6×x=18x3-18ax2+a2x,

令V′(x)=0,得x1=,x2=(舍去),

當0＜x＜時，V′(x)＞0，V（x）為增函數(shù);

當＜x＜時，V′(x)＜0,V（x）為減函數(shù).

所以在定義域（0,）內(nèi)只有當x=時，V（x）取得最大值.

所以V()=3000,即（a-2×）2×6××=3000.

解得a3=9000,所以a=10cm.


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