Question

已知向量=（cos，sin），=（cos，cos），函數(shù)f（x）=•．
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，并在給出的方格紙上用五點(diǎn)作圖法作出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；
（2）求證：函數(shù)f（x）的圖象在區(qū)間[-，]上不存在與直線y=x平行的切線．

Answer 1

解：（1）f（x）==cos²+sincos=cosx+sinx+=sin（x+）+，
令2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，則2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[2 kπ+，2kπ+]，k∈Z．
函數(shù)f（x）在區(qū)間[-，π]上的簡(jiǎn)圖如下：

（2）證明：由（1）知，f（x）=sin（x+）+，
∴f′（x）=cos（x+），
∵x∈[-，]，∴x+∈[-，]，
∴f′（x）=cos（x+）≤＜．
∴函數(shù)f（x）的圖象在區(qū)間[-，]上不存在與直線y=x平行的切線．
分析：（1）先利用向量數(shù)量積運(yùn)算的性質(zhì)寫出函數(shù)f（x）的解析式，再利用二倍角公式和兩角和的正弦公式，將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)，最后利用整體代入法求出單調(diào)減區(qū)間，利用五點(diǎn)作圖法畫出要求圖象即可
（2）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再證明導(dǎo)函數(shù)f′（x）在區(qū)間[-，]上的最大值小于直線y=x的斜率，最后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義說(shuō)明結(jié)論
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了向量數(shù)量積運(yùn)算、三角變換公式、y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，有一定難度