Question

已知中心在原點的橢圓C的一個焦點為F(4,0),長軸端點到較近焦點的距離為1,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)(x₁≠x₂)為橢圓上不同的兩點.
(1)求橢圓C的方程.
(2)若x₁+x₂=8,在x軸上是否存在一點D,使||=||?若存在,求出D點的坐標;若不存在,說明理由.

Answer 1

(1) +=1   (2) D點存在,為(,0)  理由見解析

(1)由題知c=4,a-c=1,∴a=5,b²=9.
∴所求方程為+=1.
(2)假設(shè)存在這樣一點D(x₀,0).由||=||,
則點D在線段AB的中垂線上.
又線段AB中點為(4,),
∴線段AB的中垂線方程為
y-=-(x-4)　�、�
∵A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)(x₁≠x₂)是橢圓上兩點,
∴+=1,+=1.
∴+=0.
∴-=·.
在①中令y=0,∴-=(x₀-4).
∴x₀=.∴D點存在,為(,0).