已知函數(shù)f(x)=,x>0.

(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性,證明你的結論;

(2)若當x>0時,f(x)>恒成立,求正整數(shù)k的最大值.(參考數(shù)據(jù):ln2≈0.7,ln3≈1.1)

(文) P1是橢圓+y2=1(a>0且a≠1)上不與頂點重合的任一點,P1P2是垂直于x軸的弦,A1(-a,0),A2(a,0)是橢圓的兩個端點,直線A1P1與直線A2P2交點為P.

(1)求P點的軌跡曲線C的方程;

(2)設曲線C與直線l:x+y=1相交于兩個不同的點A、B,求曲線C的離心率e的取值范圍;

(3)設曲線C與直線l:x+y=1相交于兩個不同的點A、B,O為坐標原點,且=-3,求a的值.

(理)解:(1)f′(x)=-1-ln(x+1)]=+ln(x+1)],

∵x>0,∴x2>0,>0,ln(x+1)>0.

∴f′(x)<0.

因此函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù).                                       

(2)(方法1)當x>0時,f(x)>恒成立,令x=1有k<2(1+ln2).又k為正整數(shù),

∴k的最大值不大于3.                                                     

下面證明當k=3時,f(x)>(x>0)恒成立,

即證當x>0時,(x+1)ln(x+1)+1-2x>0恒成立.                                  

令g(x)=(x+1)ln(x+1)+1-2x,則g′(x)=ln(x+1)-1,

當x>e-1時,g′(x)>0;當0<x<e-1時,g′(x)<0.                                 

∴當x=e-1時,g(x)取得最小值g(e-1)=3-e>0.

∴當x>0時,(x+1)ln(x+1)+1-2x>0恒成立.

因此正整數(shù)k的最大值為3.                                                 

(方法2)當x>0,f(x)>恒成立.

h(x)=>k對x>0恒成立.h(x)(x>0)的最小值大于k.           

h′(x)=,記φ(x)=x-1-ln(x+1)(x>0),

則φ′(x)=>0,

∴φ(x)在(0,+∞)上連續(xù)遞增.

又φ(2)=1-ln3<0,φ(3)=2-2ln2>0,

∴φ(x)=0存在唯一實根a,且滿足:a∈(2,3),即a-1-ln(a+1)=0.∴a=1+ln(a+1).          

由x>a時,φ(x)>0,h′(x)>0;0<x<a時,φ(x)<0,h′(x)<0知:

h(x)(x>0)的最小值為h(a)==a+1.               

又2<a<3,∴3<a+1<4,為使k<h(x)對于x>0恒成立,

因此正整數(shù)k的最大值為3.                                                 

(文)(1)解:設P1(m,n)(mn≠0),則P2(m,-n),

直線A1P1:y=(x+a);①

直線A2P2:y=(x-a);②                                                  

設P點坐標為(x,y),

由①②得m=,n=,                                                    

∵點P1(m,n)在橢圓+y2=1上,

∴有m2+a2n2=a2,

即()2+a2()2=a2,整理得-y2=1(y≠0).

∴直線A1P1與直線A2P2交點P的軌跡方程是雙曲線-y2=1(y≠0).              

(2)由C與l相交于兩個不同的點,故知方程組有兩個不同的實數(shù)解.消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.

又∵a>0且a≠1,

∴4a4+8a2(1-a2)>0.

∴0<a2<2且a2≠1.                                                            

雙曲線的離心率e=.

<e<或e>,即e∈()∪(,+∞).                        

(3)設A(x1,y1)、B(x2,y2),

則-3==x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1=+1,

=-4,由a>0,得a=.

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3x+5,(x≤0)
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,
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1
π
),f[f(-1)]
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A、(
1
3
,1)
B、(
1
3
1
2
]
C、(
1
3
,
6
11
]
D、[
6
11
,1

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x-1x+a
+ln(x+1)
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