已知三棱錐P-ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=
1
2
AB，N為AB上一點，AB=4AN，M，S分別為PB，BC的中點．
（Ⅰ）證明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小．
精英家教網(wǎng)

精英家教網(wǎng)
證明：設(shè)PA=1，以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標系如圖．
則P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），
M（1，0，
1
2
），N（
1
2
，0，0），S（1，
1
2
，0）．（4分）
（Ⅰ）
CM
=(1，-1，
1
2
)，
SN
=(-
1
2
，-
1
2
，0)，
因為
CM
•
SN
=-
1
2
+
1
2
+0=0，
所以CM⊥SN（6分）
（Ⅱ）
NC
=(-
1
2
，1，0)，
設(shè)a=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量，
則
x-y+
1
2
z=0
-
1
2
x+y=0.
令x=2，得a=（2，1，-2）．
因為|cos?a，
SN
＞|=|
-1-
1
2
3×
2
2
|=
2
2
，
所以SN與片面CMN所成角為45°．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩相互垂直，且PA=2
3
，PB=3，PC=2外接球的直徑等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分別為AC、PC的中點，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求證：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分的體積比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知三棱錐P-ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D為AB中點，M為PB的中點，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．
（I）求證：DM∥平面PAC；
（II）求證：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅲ）求三棱錐M-BCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•河西區(qū)二模）如圖，已知三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，其中正視圖為Rt△PAC，AC=2
6
，PA=4，俯視圖也為直角三角形，另一直角邊長為2
2
．
（Ⅰ）畫出側(cè)視圖并求側(cè)視圖的面積；
（Ⅱ）證明面PAC⊥面PAB；
（Ⅲ）求直線PC與底面ABC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•黃浦區(qū)二模）已知三棱錐P-ABC的棱長都是2，點D是棱AP上不同于P的點．
（1）試用反證法證明直線BD與直線CP是異面直線．
（2）求三棱錐P-ABC的體積VP-ABC．

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同步練習(xí)冊答案