Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．

⑴ 若直線與曲線恒相切于同一定點(diǎn)，求的方程；

⑵ 若，求證：當(dāng)時(shí)， 恒成立；

⑶ 若當(dāng)時(shí)， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)詳見(jiàn)解析;(3) .

【解析】試題分析：（1）由直線與曲線恒相切于同一定點(diǎn)轉(zhuǎn)化為曲線必恒過(guò)定點(diǎn)，即可求出切線的方程（2）構(gòu)造，研究的單調(diào)性，從而證明當(dāng)時(shí)， 恒成立（3）按照題目意思構(gòu)造，求導(dǎo)后進(jìn)行分類討論，當(dāng)時(shí)、當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)三種情況，求得實(shí)數(shù)的取值范圍

解析：⑴ 因?yàn)橹本�與曲線恒相切于同一定點(diǎn)，

所以曲線必恒過(guò)定點(diǎn)，

由，令，得，

故得曲線恒過(guò)的定點(diǎn)為.

因?yàn)?/span>，所以切線的斜率，

故切線的方程為，即.

⑵因?yàn)?/span>，

所以令，

，設(shè)，

， 在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)， ，

即在上恒成立，

在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，故當(dāng)時(shí)， 即恒成立；

⑶令，

則.

， ，

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，

所以在上單調(diào)遞增，故，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ，

所以在上單調(diào)遞增，故.

從而，當(dāng)時(shí)， 恒成立.

②當(dāng)時(shí)，由⑵可得，

所以在上單調(diào)遞增，故.

從而，當(dāng)時(shí)， 恒成立.

③當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)， 在內(nèi)取得最小值.

故必存在實(shí)數(shù)，使得在上，即在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞減，

此時(shí)存在，使得，不符合題設(shè)要求.

綜上①②③所述，得的取值范圍是.

說(shuō)明：③也可以按以下方式解答：

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)， 在內(nèi)取得最小值，

當(dāng)時(shí)， ，所以，

故存在，使得，且當(dāng)時(shí)， ，

下同前述③的解答.