Question

已知直線l過點P（3，4）
（1）它在y軸上的截距是在x軸上截距的2倍，求直線l的方程．
（2）若直線l與x軸，y軸的正半軸分別交于點A，B，求△AOB的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）當直線l過原點時，符合題意，求出斜率k即可得出；當直線l不過原點時，由于它在y軸上的截距是在x軸上截距的2倍，可設直線l的方程為：

x

a

+

y

2a

=1．把點P的坐標代入即可．
（2）設直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），由直線l過點P（3，4）可得得：

3

a

+

4

b

=1．利用基本不等式即可得出ab的最小值，進而得到三角形AOB的面積的最小值．

解答：解：（1）①當直線l過原點時，符合題意，斜率k=

4

3

，直線方程為y=

4

3

x，即4x-3y=0；
②當直線l不過原點時，∵它在y軸上的截距是在x軸上截距的2倍，
∴可設直線l的方程為：

x

a

+

y

2a

=1．
∵直線l過點P（3，4），∴

3

a

+

4

2a

=1，解得a=5．
∴直線l的方程為：

x

5

+

y

10

=1，即2x+y-10=0．
綜上所述，所求直線l方程為4x-3y=0或2x+y-10=0．
（2）設直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），
由直線l過點P（3，4）得：

3

a

+

4

b

=1．
∴1≥2

3 a × 4 b

，化為ab≥48，當且僅當a=6，b=8時取等號．
∴△AOB的面積=

1

2

ab≥

1

2

×48=24，其最小值為24．

點評：本題考查了直線截距式、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于基礎題．