Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A（一1，1），P是動點，且三角形POA的三邊所在直線的斜率滿足k_OP+k_OA=k_PA．
（I）求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若Q是軌跡C上異于點P的一個點，且

PQ

=λ

OA

，直線OP與QA交于點M，試探究：點M的橫坐標是否為定值？并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)點P（x，y）為所求軌跡上的任意一點，則由k_OP+k_OA=k_PA，得

y

x

+

1

-1

=

y-1

x+1

，由此能求出點P的軌跡C的方程．
（Ⅱ）法一：設(shè)P(x1，

x

2 1

) ， Q(x2，

x

2 2

) ， M(x0，y0)，由

PQ

=λ

OA

可知直線PQ∥OA，則k_PQ=k_OA，故x₂+x₁=-1，由O、M、P三點共線可知，

OM

=(x0，y0)與

OP

=(x1，

x

2 1

)共線，由此能求出點M的橫坐標為定值-

1

2

．
法二：設(shè)P(x1，

x

2 1

) ， Q(x2，

x

2 2

)，由

PQ

=λ

OA

可知直線PQ∥OA，則k_PQ=k_OA，故x₂=-x₁-1，所以直線OP方程為：y=x₁x，直線QA的斜率為：

(-x1-1)2-1

-x1-1+1

=-x1-2，由此能求出點M的橫坐標為定值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點P（x，y）為所求軌跡上的任意一點，
則由k_OP+k_OA=k_PA，
得

y

x

+

1

-1

=

y-1

x+1

，（2分）
整理得軌跡C的方程為y=x²（x≠0且x≠-1），…（4分）
（Ⅱ）（方法一）設(shè)P(x1，

x

2 1

) ， Q(x2，

x

2 2

) ， M(x0，y0)，
由

PQ

=λ

OA

可知直線PQ∥OA，則k_PQ=k_OA，
故

x 2 2 - x 2 1

x2-x1

=

1-0

-1-0

，即x₂+x₁=-1，…（6分）
由O、M、P三點共線可知，

OM

=(x0，y0)與

OP

=(x1，

x

2 1

)共線，
∴x0

x

2 1

-x1y0=0，
由（Ⅰ）知x₁≠0，故y₀=x₀x₁，（8分）
同理，由

AM

=(x0+1，y0-1)與

AQ

=(x2+1，

x

2 2

-1)共線，
∴(x0+1)(

x

2 2

-1)-(x2+1)(y0-1)=0，
即（x₂+1）[（x₀+1）（x₂-1）-（y₀-1）]=0，
由（Ⅰ）知x₂≠-1，故（x₀+1）（x₂-1）-（y₀-1）=0，（10分）
將y₀=x₀x₁，x₂=-1-x₁代入上式得（x₀+1）（-2-x₁）-（x₀x₁-1）=0，
整理得-2x₀（x₁+1）=x₁+1，
由x₁≠-1得x0=-

1

2

，即點M的橫坐標為定值-

1

2

．  （12分）
（方法二）
設(shè)P(x1，

x

2 1

) ， Q(x2，

x

2 2

)，
由

PQ

=λ

OA

可知直線PQ∥OA，則k_PQ=k_OA，
故

x 2 2 - x 2 1

x2-x1

=

1-0

-1-0

，即x₂=-x₁-1，（6分）
∴直線OP方程為：y=x₁x①； （8分）
直線QA的斜率為：

(-x1-1)2-1

-x1-1+1

=-x1-2，
∴直線QA方程為：y-1=（-x₁-2）（x+1），
即y=-（x₁+2）x-x₁-1②； （10分）
聯(lián)立①②，得x=-

1

2

，
∴點M的橫坐標為定值-

1

2

．（12分）

點評：本題考查軌跡方程的求法，探究點M的橫坐標是否為定值．具體涉及到直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線的基本性質(zhì)、向量知識、直線方程等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．