Question

1．已知函數(shù)$f（x）=（a-\frac{1}{2}）{x^2}+lnx$．（a∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a=0時，求f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方，求a的取值范圍．
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x）-2ax，$h（x）={x^2}-2bx+\frac{19}{6}$．當(dāng)$a=\frac{2}{3}$時，若對于任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使g（x₁）≤h（x₂），求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-2ax=（a-$\frac{1}{2}$）x²-2ax+lnx，由題意可得g（x）＜0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立．求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，對a討論，①若a＞$\frac{1}{2}$，②若a≤$\frac{1}{2}$，判斷單調(diào)性，求出極值點(diǎn)，即可得到所求范圍；
（Ⅲ）由題意可得任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，只要g（x₁）_max≤h（x₂）_max，運(yùn)用單調(diào)性分別求得g（x）和h（x）的最值，解不等式即可得到所求b的范圍

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時，$f（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+lnx$，
$f'（x）=-x+\frac{1}{x}=\frac{{-{x^2}+1}}{x}=\frac{-（x+1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，1]上是增函數(shù)，在[1，e]上為減函數(shù)，
∴f（x）_max=f（1）=-$\frac{1}{2}$，
  又$f（\frac{1}{e}）=-1-\frac{1}{{2{e^2}}}$＞$f（e）=1-\frac{e^2}{2}$，
∴${f_{min}}（x）=f（e）=1-\frac{e^2}{2}$；
（2）令g（x）=f（x）-2ax=（a-$\frac{1}{2}$）x²-2ax+lnx，
則g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方
等價于g（x）＜0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立．g′（x）=（2a-1）x-2a+$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-1）[（2a-1）x-1]}{x}$①，
①若a＞$\frac{1}{2}$，令g'（x）=0，得極值點(diǎn)x₁=1，x₂=$\frac{1}{2a-1}$，
當(dāng)x₂＞x₁=1，即$\frac{1}{2}$＜a＜1時，在（0，1）上有g(shù)'（x）＞0，
在（1，x₂）上有g(shù)'（x）＜0，在（x₂，+∞）上有g(shù)'（x）＞0，
此時g（x）在區(qū)間（x₂，+∞）上是增函數(shù)，
并且在該區(qū)間上有g(shù)（x）∈（g（x₂），+∞），不合題意；
當(dāng)x₂≤x₁=1，即a≥1時，同理可知，g（x）在區(qū)間（1，+∞）上，
有g(shù)（x）∈（g（1），+∞），也不合題意；
②若a≤$\frac{1}{2}$，則有2a-1≤0，此時在區(qū)間（1，+∞）上恒有g(shù)'（x）＜0，
從而g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；
要使g（x）＜0在此區(qū)間上恒成立，只須滿足g（1）=-a-$\frac{1}{2}$≤0⇒a≥-$\frac{1}{2}$，
由此求得a的范圍是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．
綜合①②可知，當(dāng)a∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]時，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方；
（3）當(dāng)a=$\frac{2}{3}$時，由（Ⅱ）中①知g（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
在（1，2）上是減函數(shù)，所以對任意x₁∈（0，2），都有g(shù)（x₁）≤g（1）=-$\frac{7}{6}$，
又已知存在x₂∈[1，2]，使g（x₁）≤h（x₂），
即存在x₂∈[1，2]，使x²-2bx+$\frac{19}{6}$≥-$\frac{7}{6}$，即存在x₂∈[1，2]，2bx≤x²+$\frac{13}{3}$，
即存在x₂∈[1，2]，使2b≤x+$\frac{13}{3x}$．
因?yàn)閥=x+$\frac{13}{3x}$∈[$\frac{25}{6}$，$\frac{16}{3}$]（x∈[1，2]），
所以2b≤$\frac{16}{3}$，解得b≤$\frac{8}{3}$，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是（-∞，$\frac{8}{3}$]．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)性，考查不等式恒成立問題及任意性和存在性問題，注意轉(zhuǎn)化為求最值問題，考查運(yùn)算能力．