Question

如果實系數(shù)a₁、b₁、c₁和a₂、b₂、c₂都是非零常數(shù)．
（1）設(shè)不等式a₁x²+b₁x+c₁＞0和a₂x²+b₂x+c₂＞0的解集分別是A、B，試問

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

是A=B的什么條件？并說明理由．
（2）在實數(shù)集中，方程a₁x²+b₁x+c₁=0和a₂x²+b₂x+c₂=0的解集分別為A和B，試問 

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

是A=B的什么條件？并說明理由．
（3）在復(fù)數(shù)集中，方程a₁x²+b₁x+c₁=0和a₂x²+b₂x+c₂=0的解集分別為A和B，證明：

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

是A=B的充要條件．

Answer 1

分析：（1）通過舉反例判斷出 

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

推不出A=B，反之A=B也推不出 

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

，根據(jù)充要條件的有關(guān)定義得到結(jié)論．
（2）通過舉反例判斷出 A=B，推不出兩個方程的系數(shù)之間有關(guān)系，反之當(dāng)兩個方程的系數(shù)對應(yīng)成比例，兩個方程式同解方程，利用充要條件的有關(guān)定義得到結(jié)結(jié)論．
（3）兩個方程的系數(shù)對應(yīng)成比例，所以兩個方程是同解方程．充分性得證；由韋達(dá)定理可以證明必要性．

解答：解：（1）若 a=b=c=1，a₁=b₁=c₁=-1，則A≠B      …（2分）                      
若 A=B=Φ，則兩個不等式的系數(shù)之間沒有關(guān)系． …（4分）
 

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

是A=B的既不充分也不必要條件．         …（6分）
（2）若 A=B=Φ，則兩個方程的系數(shù)之間沒有關(guān)系． …（8分）
    由于兩個方程的系數(shù)對應(yīng)成比例，所以兩個方程式同解方程．…（10分

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

是A=B的充分也不必要條件 …（12分）
（3）

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

是A=B的充要條件                     …（14分）
由于兩個方程的系數(shù)對應(yīng)成比例，所以兩個方程是同解方程．充分性得證．…（16分）
由韋達(dá)定理可以證明必要性．…（18分）

點評：本題考查判斷應(yīng)該命題是另一個命題的什么條件，應(yīng)該兩邊互推，然后利用充要條件的有關(guān)定義加以判斷；考查二次不等式，二次方程的解法．