Question

已知函數f(x)=2sin(2x+

π

6

)+2．
（1）已知f（α）=3，且α∈（0，π），求α的值；
（2）當x∈[0，π]時，求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（3）若對任意的x∈[

π

4

， 

π

2

]，不等式f（x）＞m-3恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數的最值

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）由已知的函數解析式結合f（α）=3求得sinα的值，再根據給出的α的范圍求α的值；
（2）由符合函數的單調性求出f(x)=2sin(2x+

π

6

)+2的增區(qū)間，找出[0，π]內的x的范圍即可；
（3）求出f(x)=2sin(2x+

π

6

)+2在x∈[

π

4

， 

π

2

]上的最小值，由m-3小于該最小值得實數m的取值范圍．

解答： 解（1）由于函數f(x)=2sin(2x+

π

6

)+2，
∵f（α）=3，且α∈（0，π），∴2sin(2α+

π

6

)+2=3，解得sin(2α+

π

6

)=

1

2

．
故有2α+

π

6

=2kπ+

π

6

，或2α+

π

6

=2kπ+

5π

6

， k∈z．∴α=

π

3

；
（2）由2kπ-

π

2

≤α+

π

6

≤2kπ+

π

2

， k∈z，可得kπ-

π

3

≤α≤kπ+

π

6

，
故函數f（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

≤α≤kπ+

π

6

]，k∈z．
再由x∈[0，π]，可得函數f（x）的單調遞增區(qū)間為[0，

π

6

]、[

2π

3

，π]；
（3）對任意的x∈[

π

4

， 

π

2

]，

2π

3

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤

3

2

，1≤f(x)≤2+

3

．
要使f（x）＞m-3恒成立，只要函數f（x）的最小值大于m-3，故有1＞m-3，m＜4，
故實數m的取值范圍為（-∞，4）．

點評：本題考查由函數的值求角，關鍵是注意角的范圍，考查復合函數的單調性和最值，訓練了數學轉化思想方法，是中檔題．