Question

已知函數(shù)f（x）=log4(7+6x-x2)
（1）寫出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并證明．
（2）在f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間上，求f（x）的反函數(shù)f ^--1（x）．

Answer 1

分析：（1）f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（-1，3]，設(shè)3≥x₂＞x₁＞-1，化簡(jiǎn)f（x₁）-f（x₂） 的解析式，判斷符號(hào)小于零，可得f（x）在（-1，3]上是增函數(shù)．
（2）由于f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，3]上，可得 0＜f（x）≤2．由原函數(shù)的解析式求得 x=3-

16-4y

，從而求得反函數(shù)f ^--1（x）．

解答：解：（1）f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（-1，3]．
證明：設(shè)3≥x₂＞x₁＞-1，f（x₁）-f（x₂）=log4(7+6x1 -x12)-log4(7+6x2 -x22)=log4

7+6x1 -x12

7+6x2 -x22

．
∵

7+6x1 -x12

7+6x2 -x22

-1=

7+6x1 -x12-(7+6x2 -x22)

7+6x2 -x22

=

(x 2 -x1 )(x1+x2 -6)

7+6x2 -x22

＜0，
∴0＜

7+6x1 -x12

7+6x2 -x22

＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x）在（-1，3]上是增函數(shù)．
（2）由于f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，3]上，可得 0＜f（x）≤2，
∵f（x）=log4(7+6x-x2)，
∴7+6x-x²=4^y，（x-3）²=16-4^y，
∴x=3-

16-4y

，
∴f（x）的反函數(shù)f ^--1（x）=3-

16-4x

 （ 0＜x≤2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)的方法，注意反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，屬于中檔題．