在平面直角坐標(biāo)系xoy上,給定拋物線L:y=數(shù)學(xué)公式x2.實數(shù)p,q滿足p2-4q≥0,x1,x2是方程x2-px+q=0的兩根,記φ(p,q)=max{|x1|,|x2|}.
(1)過點,A(p0,數(shù)學(xué)公式p02)(p0≠0),作L的切線交y軸于點B.證明:對線段AB上的任一點Q(p,q),有φ(p,q)=數(shù)學(xué)公式;
(2)設(shè)M(a,b)是定點,其中a,b滿足a2-4b>0,a≠0.過M(a,b)作L的兩條切線l1,l2,切點分別為E(p1,數(shù)學(xué)公式),E′(p2,數(shù)學(xué)公式p22),l1,l2與y軸分別交于F,F(xiàn)′.線段EF上異于兩端點的點集記為X.證明:M(a,b)∈X?|P1|<|P2|?φ(a,b)=數(shù)學(xué)公式
(3)設(shè)D={ (x,y)|y≤x-1,y≥數(shù)學(xué)公式(x+1)2-數(shù)學(xué)公式}.當(dāng)點(p,q)取遍D時,求φ(p,q)的最小值 (記為φmin)和最大值(記為φmax

解:(1)kAB=y′|x=p0=p0,
直線AB的方程為y-p02=p0(x-p0),即y=p0x-p02,
∴q=p0p-p02,方程x2-px+q=0的判別式△=p2-4q=(p-p02
兩根x1,2==或p-,
而|p-|=||p|-|||,又0≤|p|≤|p0|,
,得|p-|=||p|-|||,
∴φ(p,q)=;

(2)由a2-4b>0知點M(a,b)在拋物線L的下方,
①當(dāng)a>0,b≥0時,作圖可知,若M(a,b)∈X,則p1>p2≥0,
得|p1|>|p2|;顯然有點M(a,b)∈X;∴M(a,b)∈X?|P1|<|P2|.
②當(dāng)a>0,b<0時,點M(a,b)在第二象限,作圖可知,若M(a,b)∈X,則p1>0>p2
且|p1|>|p2|;
顯然有點M(a,b)∈X,
∴顯然有點M(a,b)∈X?|P1|<|P2|.
根據(jù)曲線的對稱性可知,當(dāng)a<0時,M(a,b)∈X?|P1|<|P2|.
綜上所述,M(a,b)∈X?|P1|<|P2|. (*)
由(1)知點M在直線EF上,方程x2-ax+b=0的兩根x1,2=或a-,
同理知點M在直線E′F′上,方程x2-ax+b=0的兩根x1,2=或a-,
若φ(a,b)=,則不比|a-|、、|a-|小,
∴|p1|>|p2|;又|p1|>|p2|?M(a,b)∈X;
∴φ(p,q)=?M(a,b)∈X;
又由(1)知,M(a,b)∈X?φ(p,q)=;
∴M(a,b)∈X?φ(p,q)=,綜合(*)式,得證.

(3)聯(lián)立y=x-1,y=(x+1)2-得交點(0,-1),(2,1),可知0≤p≤2,
過點(p,q)拋物線L的切線,設(shè)切點為(x0,x02),則,
得x02-2px0+4q=0,解得x0=p+,
又q≥(p+1)2-,即p2-4q≤4-2p,
x0≤p+,設(shè)=t,x0=,
∴φmax=;
而x0≥p+=p+|p-2|=2,
∴φmin==1.
分析:(1)求導(dǎo),寫出過點A(p0,p02)(p0≠0)L的切線方程,求得點B的坐標(biāo),即可證得結(jié)果;
(2)求出過M(a,b)作L的兩條切線l1,l2,根據(jù)φ(p,q)=max{|x1|,|x2|},比較、|a-|、、|a-|的大小,即可證得結(jié)論;
(3)聯(lián)立y=x-1,y=(x+1)2-求得交點坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求過點(p,q)拋物線L的切線方程,求得切點坐標(biāo),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.
點評:此題是個難題.本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究拋物線的切線方程,是一道綜合性的試題,考查了學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力.其中問題形式是個新定義問題,考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xoy上,給定拋物線L:y=
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x2.實數(shù)p,q滿足p2-4q≥0,x1,x2是方程x2-px+q=0的兩根,記φ(p,q)=max{|x1|,|x2|}.
(1)過點,A(p0,
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p02)(p0≠0),作L的切線交y軸于點B.證明:對線段AB上的任一點Q(p,q),有φ(p,q)=
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(2)設(shè)M(a,b)是定點,其中a,b滿足a2-4b>0,a≠0.過M(a,b)作L的兩條切線l1,l2,切點分別為E(p1,
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),E′(p2,
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p22),l1,l2與y軸分別交于F,F(xiàn)′.線段EF上異于兩端點的點集記為X.證明:M(a,b)∈X?|P1|<|P2|?φ(a,b)=
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(3)設(shè)D={ (x,y)|y≤x-1,y≥
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(x+1)2-
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}.當(dāng)點(p,q)取遍D時,求φ(p,q)的最小值 (記為φmin)和最大值(記為φmax

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:廣東 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系xoy上,給定拋物線L:y=
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x2.實數(shù)p,q滿足p2-4q≥0,x1,x2是方程x2-px+q=0的兩根,記φ(p,q)=max{|x1|,|x2|}.
(1)過點,A(p0
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p02)(p0≠0),作L的切線交y軸于點B.證明:對線段AB上的任一點Q(p,q),有φ(p,q)=
|p0|
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(2)設(shè)M(a,b)是定點,其中a,b滿足a2-4b>0,a≠0.過M(a,b)作L的兩條切線l1,l2,切點分別為E(p1,
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),E′(p2,
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p22),l1,l2與y軸分別交于F,F(xiàn)′.線段EF上異于兩端點的點集記為X.證明:M(a,b)∈X?|P1|<|P2|?φ(a,b)=
|p1|
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(3)設(shè)D={ (x,y)|y≤x-1,y≥
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(x+1)2-
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}.當(dāng)點(p,q)取遍D時,求φ(p,q)的最小值 (記為φmin)和最大值(記為φmax

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本小題滿分14分)

       在平面直角坐標(biāo)系xOy上,給定拋物線L:實數(shù)p,q滿足,x1,x2是方程的兩根,記。

(1)過點作L的切線教y軸于點       B.證明:對線段AB上任一點Q(p,q)有

(2)設(shè)M(a,b)是定點,其中a,b滿足a2-4b>0,a≠0.過M(a,b)作L的兩條切線,切點分別為與y軸分別交與F,F'。線段EF上異于兩端點的點集記為X.證明:M(a,b) X;

(3)設(shè)D={ (x,y)|y≤x-1,y≥(x+1)2-}.當(dāng)點(p,q)取遍D時,求的最小值 (記為)和最大值(記為).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

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