已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)y=f(x)滿足條件:對于任意的x、y∈R, f(x+y)=f(x)+f(y).

(1)求證:f(0)=0;

(2)求證:f(x)是奇函數(shù),試舉出兩個這樣的函數(shù);

(3)若當(dāng)x＞0時,f(x)＜0.

①試判斷函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性,并證明之;

②判斷函數(shù)|f(x)|=a所有可能的解的個數(shù),并求出對應(yīng)的a的范圍.

解析:(1)證明:令x=y=0,f(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.?

(2)證明：令y=-x,則f(0)=f(-x)+f(x),?

即f(-x)=-f(x),故f(x)為奇函數(shù);?

例如:y=-2x,y=3x.?

(3)①任取x1、x2∈R,且x1＜x2,則x2-x1＞0.?

f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)＜0.?

∴f(x2)＜f(x1).

∴函數(shù)f(x)為(-∞,+∞)上的減函數(shù).?

②顯然本題中的函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,f(0)=0,所以|f(x)|≥0,判定|f(x)|=a的解的個數(shù)也就是判定y=|f(x)|與y=a的圖象交點(diǎn)個數(shù).

當(dāng)a＞0時，有兩解；?

當(dāng)a=0時，有一解；?

當(dāng)a＜0時，無解.

答案:(1)令x=y=0,則f(0)=f(0)+f(0).?

(2)令y=-x,則f(0)=f(-x)+f(x),?

即f(-x)=-f(x),?

故f(x)為奇函數(shù).?

例如:y=-2x,y=3x.?

(3)①任取x1＜x2,則x2-x1＞0,?

f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)＜0,?

則f(x2)＜f(x1),?

所以該函數(shù)f(x)為(-∞,+∞)上的單調(diào)減函數(shù).

②當(dāng)a＞0時,有兩解;

當(dāng)a=0時,有一解;

當(dāng)a＜0時,無解.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

18、已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)y=f（x）滿足條件：對于任意的實數(shù)x，y，f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＞0，f（1）=2，
（1）求f（0）；f（2）；
（2）證明：f（x）是奇函數(shù)；
（3）證明：f（x）是增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)y=f（x）滿足條件：對任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值，
（2）求證：f（x）是奇函數(shù)，
（3）舉出一個符合條件的函數(shù)y=f（x）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)fn(x)=xn，（x∈N*），其導(dǎo)函數(shù)記為fn′（x），且滿足fn′[ax1+(1-a)x2]  =
f2(x2)-f2(x1) x2-x1
，其中a，x1，x2為常數(shù)，x1≠x2．設(shè)函數(shù)g（x）=f1（x）+mf2（x）-lnf3（x），（m∈R且m≠0）．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）無極值點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)g′（x）有零點(diǎn)，求m的值；
（Ⅲ）求函數(shù)g（x）在x∈[0，a]的圖象上任一點(diǎn)處的切線斜率k的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)f（x）滿足xf（x）為偶函數(shù)，f（x+2）=-f（x），（x∈R） 且當(dāng)1≤x≤3時，f（x）=（2-x）3．
（1）求-1≤x≤0時，函數(shù)f（x）的解析式．
（2）求f（2008）、f（2008.5）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，那么y1=f(
π
3
)，y2=f(3x2+1)和y3=f(log2
1
4
)之間的大小關(guān)系為（　�。�

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